Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2022

En el espacio tridimensional conocemos las ecuaciones siguientes:

$\pi \equiv \begin{cases} x = 1 + t + 4s \\ y = 1 + s \\ z = 3 - 2t - 5s \end{cases}; \qquad r_1 \equiv \dfrac{x+4}{5} = \dfrac{y+5}{6} = \dfrac{z-1}{0}; \qquad r_2 \equiv \begin{cases} 4x + 3y = 7 \\ y + 4z = 5 \end{cases}$

a) Calcule la ecuación de la recta $s$, perpendicular al plano $\pi$ y que contiene el punto de intersección de las rectas $r_1$ y $r_2$. [1,25 puntos]

b) ¿Es cierto que el ángulo entre las rectas $r_1$ y $r_2$ es menor de $45^\circ$? Justifíquelo. [1,25 puntos]

$\textbf{a) Calcule la ecuación de la recta } \boldsymbol{s}\textbf{, perpendicular al plano } \boldsymbol{\pi}\textbf{ y que contiene el punto de intersección de las rectas } \boldsymbol{r_1}\textbf{ y } \boldsymbol{r_2}\textbf{. [1,25 puntos]}$

Hacen falta dos cosas: la dirección de $s$, que por ser perpendicular al plano es su vector normal, y el punto por el que pasa, que es el corte de las dos rectas.

El plano viene en paramétricas, así que su vector normal es el producto vectorial de sus dos vectores directores.

$\vec u_1=(1,0,-2),\qquad \vec u_2=(4,1,-5)$

$\vec n_{\pi}=\begin{vmatrix}\vec i & \vec j & \vec k\\ 1 & 0 & -2\\ 4 & 1 & -5\end{vmatrix}=(2,-3,1)$

Para el punto de corte escribimos $r_1$ en paramétricas —el denominador nulo de la tercera fracción indica que $z$ es constante— y obligamos a su punto genérico a cumplir las ecuaciones de $r_2$.

$r_1:\begin{cases}x=-4+5\lambda\\ y=-5+6\lambda\\ z=1\end{cases}\quad \lambda\in\mathbb{R}$

$4(-4+5\lambda)+3(-5+6\lambda)=7\Rightarrow -16+20\lambda-15+18\lambda=7$

$38\lambda=38\Rightarrow \lambda=1$

Comprobamos que ese valor cumple también la segunda ecuación de $r_2$:

$y+4z=(-5+6)+4\cdot 1=1+4=5$

$\lambda=1\Rightarrow I(1,1,1)$



$s:\begin{cases}x=1+2\mu\\ y=1-3\mu\\ z=1+\mu\end{cases}\quad \mu\in\mathbb{R}$

La recta pedida pasa por $I(1,1,1)$ y tiene vector director $(2,-3,1)$.

$\textbf{b) ¿Es cierto que el ángulo entre las rectas } \boldsymbol{r_1}\textbf{ y } \boldsymbol{r_2}\textbf{ es menor de } \boldsymbol{45^\circ}\textbf{? Justifíquelo. [1,25 puntos]}$

El ángulo entre dos rectas es el que forman sus vectores directores, tomado agudo. El de $r_1$ se lee de su forma continua; el de $r_2$ es el producto vectorial de las normales de los planos que la definen.

$\vec v_{r_1}=(5,6,0)$

$\vec v_{r_2}=\begin{vmatrix}\vec i & \vec j & \vec k\\ 4 & 3 & 0\\ 0 & 1 & 4\end{vmatrix}=(12,-16,4)$

Dividiendo entre 4, $\vec v_{r_2}=(3,-4,1)$.

$\cos\alpha=\dfrac{\left|\vec v_{r_1}\cdot\vec v_{r_2}\right|}{\left|\vec v_{r_1}\right|\left|\vec v_{r_2}\right|}=\dfrac{|15-24+0|}{\sqrt{25+36}\cdot\sqrt{9+16+1}}=\dfrac{9}{\sqrt{61}\cdot\sqrt{26}}$

$=\dfrac{9}{\sqrt{1586}}\approx 0{,}2260$

$\alpha=\arccos(0{,}2260)\approx 76^{\circ}\,56'$

Basta comparar los cosenos para responder sin necesidad de la calculadora: el coseno es decreciente en el primer cuadrante, y $0{,}2260<\cos 45^{\circ}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\approx 0{,}7071$, de modo que el ángulo es mayor que $45^{\circ}$.

La afirmación es falsa: las rectas $r_1$ y $r_2$ forman un ángulo de unos $76^{\circ}\,56'$, muy por encima de los $45^{\circ}$.