Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2022

En el espacio tridimensional conocemos las ecuaciones de las rectas siguientes:

$r \equiv \begin{cases} 3x - 2y = -1 \\ 4y - 3z = -1 \end{cases} \qquad s \equiv \begin{cases} x + 4y + 12 = 0 \\ 6y + z + 13 = 0 \end{cases}$

a) Estudie la posición relativa de las rectas $r$ y $s$. [1,25 puntos]

b) Calcule la ecuación del plano $\pi$ paralelo a la recta $s$ que contiene a la recta $r$. Halle el punto de corte de dicho plano $\pi$ con la recta $t \equiv \dfrac{x+4}{-1} = \dfrac{y-8}{3} = z - 2$. [1,25 puntos]

$\textbf{a) Estudie la posición relativa de las rectas } \boldsymbol{r}\textbf{ y } \boldsymbol{s}\textbf{. [1,25 puntos]}$

Se comparan primero los vectores directores y, si no son proporcionales, se estudia el producto mixto de los dos directores con el vector que une un punto de cada recta: si se anula, las rectas se cortan; si no, se cruzan. Las dos vienen como intersección de planos, así que sus directores son los productos vectoriales de las normales.

$\vec v_r=\begin{vmatrix}\vec i & \vec j & \vec k\\ 3 & -2 & 0\\ 0 & 4 & -3\end{vmatrix}=(6,9,12)$

Dividiendo entre 3, $\vec v_r=(2,3,4)$.

$\vec v_s=\begin{vmatrix}\vec i & \vec j & \vec k\\ 1 & 4 & 0\\ 0 & 6 & 1\end{vmatrix}=(4,-1,6)$

Los directores no son proporcionales, pues $\dfrac{2}{4}\neq\dfrac{3}{-1}$, luego las rectas no son paralelas. Buscamos ahora un punto de cada una.

$P_r(-1,-1,-1):\quad 3(-1)-2(-1)=-1;\qquad 4(-1)-3(-1)=-1$

$P_s(-12,0,-13):\quad -12+0+12=0;\qquad 0-13+13=0$

$\overrightarrow{P_rP_s}=(-12,0,-13)-(-1,-1,-1)=(-11,1,-12)$

$\begin{vmatrix}2 & 3 & 4\\ 4 & -1 & 6\\ -11 & 1 & -12\end{vmatrix}=-70\neq 0$



El producto mixto no se anula, de modo que los tres vectores no son coplanarios: las rectas $r$ y $s$ se cruzan.

$\textbf{b) Calcule la ecuación del plano } \boldsymbol{\pi}\textbf{ paralelo a la recta } \boldsymbol{s}\textbf{ que contiene a la recta } \boldsymbol{r}\textbf{. Halle el punto de corte de dicho plano } \boldsymbol{\pi}\textbf{ con la recta } \boldsymbol{t}\textbf{. [1,25 puntos]}$

Un plano que contenga a $r$ y sea paralelo a $s$ tiene por vectores directores los de las dos rectas y pasa por cualquier punto de $r$; su vector normal es el producto vectorial de ambos.

$\vec n=\vec v_r\times\vec v_s=\begin{vmatrix}\vec i & \vec j & \vec k\\ 2 & 3 & 4\\ 4 & -1 & 6\end{vmatrix}=(22,4,-14)$

Dividiendo entre 2, $\vec n=(11,2,-7)$.

$\pi:11x+2y-7z+D=0$

$P_r(-1,-1,-1)\in\pi\Rightarrow -11-2+7+D=0\Rightarrow D=6$

Comprobamos que $s$ queda fuera del plano, porque si estuviera dentro no sería paralela sino contenida:

$P_s(-12,0,-13):\quad 11(-12)+0-7(-13)+6=-132+91+6=-35\neq 0$

Para el punto de corte escribimos $t$ en paramétricas y llevamos su punto genérico a la ecuación del plano.

$\dfrac{x+4}{-1}=\dfrac{y-8}{3}=z-2=\mu\Rightarrow t:\begin{cases}x=-4-\mu\\ y=8+3\mu\\ z=2+\mu\end{cases}\quad \mu\in\mathbb{R}$

$11(-4-\mu)+2(8+3\mu)-7(2+\mu)+6=-44-11\mu+16+6\mu-14-7\mu+6=-12\mu-36$

$-12\mu-36=0\Rightarrow \mu=-3$

El plano pedido es $\pi:11x+2y-7z+6=0$ y corta a la recta $t$ en el punto $(-1,-1,-1)$, que resulta ser el mismo punto $P_r$ empleado para determinar el plano.