Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Dado el siguiente sistema de ecuaciones con un parámetro $k$:

$\left.\begin{array}{r} kx - y - z = 1 \\ x + ky + 2kz = k \\ x + y + z = -1 \end{array}\right\}$

a) Discuta la resolución del sistema de ecuaciones, según los valores que pueda tomar el parámetro $k$. [1,5 puntos]

b) Resuelva el sistema para $k = 1$. [1 punto]

$\textbf{a) Discuta la resolución del sistema de ecuaciones, según los valores que pueda tomar el parámetro } \boldsymbol{k}\textbf{. [1,5 puntos]}$

Aplicamos el teorema de Rouché-Frobenius, comparando el rango de la matriz de coeficientes con el de la ampliada y con el número de incógnitas.

$A=\begin{pmatrix}k & -1 & -1\\ 1 & k & 2k\\ 1 & 1 & 1\end{pmatrix},\qquad A^{*}=\left(\begin{array}{ccc|c}k & -1 & -1 & 1\\ 1 & k & 2k & k\\ 1 & 1 & 1 & -1\end{array}\right)$

$|A|=k^{2}-2k-1-\left(-k+2k^{2}-1\right)=-k^{2}-k=-k(k+1)$

$|A|=0\Rightarrow \begin{cases}k=0\\ k=-1\end{cases}$

Si $k\neq 0$ y $k\neq -1$, entonces $\operatorname{ran}(A)=\operatorname{ran}(A^{*})=3=\text{nº de incógnitas}$ y el sistema es compatible determinado.

Si $k=0$:

$A^{*}=\left(\begin{array}{ccc|c}0 & -1 & -1 & 1\\ 1 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 1 & 1 & -1\end{array}\right)$

$\begin{vmatrix}0 & -1\\ 1 & 0\end{vmatrix}=1\neq 0\Rightarrow \operatorname{ran}(A)=2$

El único menor de orden 3 de $A^{*}$ que queda por estudiar es el que sustituye la última columna de coeficientes por la de términos independientes:

$\begin{vmatrix}0 & -1 & 1\\ 1 & 0 & 0\\ 1 & 1 & -1\end{vmatrix}=0\Rightarrow \operatorname{ran}(A^{*})=2$

$\operatorname{ran}(A)=\operatorname{ran}(A^{*})=2<3\Rightarrow \text{sistema compatible indeterminado}$

Si $k=-1$:

$A^{*}=\left(\begin{array}{ccc|c}-1 & -1 & -1 & 1\\ 1 & -1 & -2 & -1\\ 1 & 1 & 1 & -1\end{array}\right)$

Aquí se ve a simple vista que la primera fila es la tercera cambiada de signo, término independiente incluido, así que la primera ecuación no aporta nada nuevo.

$\begin{vmatrix}-1 & -1\\ 1 & -1\end{vmatrix}=1+1=2\neq 0\Rightarrow \operatorname{ran}(A)=\operatorname{ran}(A^{*})=2<3$

y el sistema vuelve a ser compatible indeterminado.

Finalmente, el sistema es compatible determinado para todo $k$ distinto de 0 y de $-1$, y compatible indeterminado para esos dos valores. No es incompatible para ningún valor del parámetro.

$\textbf{b) Resuelva el sistema para } \boldsymbol{k = 1}\textbf{. [1 punto]}$

Como $1\neq 0$ y $1\neq -1$, el sistema es compatible determinado y tiene solución única.

$\begin{cases}x-y-z=1\\ x+y+2z=1\\ x+y+z=-1\end{cases}$

Restando la tercera ecuación de la segunda queda despejada una incógnita:

$(x+y+2z)-(x+y+z)=1-(-1)\Rightarrow z=2$

Sustituyendo $z=2$ en la primera y en la tercera:

$\begin{cases}x-y=3\\ x+y=-3\end{cases}$

$(x-y)+(x+y)=3-3\Rightarrow 2x=0\Rightarrow x=0$

$y=-3-x=-3$

Comprobamos en la segunda ecuación, que no se ha usado para despejar:

$0+(-3)+2\cdot 2=1$

Para $k=1$ la solución del sistema es $x=0$, $y=-3$, $z=2$.