Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2022

Realice el cálculo de las siguientes integrales:

a) $\displaystyle\int \dfrac{x+4}{x^2+4}\,dx$ [1,25 puntos]

b) $\displaystyle\int_1^e \dfrac{(\ln x)^3}{x}\,dx$ [1,25 puntos]

$\textbf{a) } \boldsymbol{\int \dfrac{x+4}{x^2+4}\,dx}\textbf{ [1,25 puntos]}$

El denominador no tiene raíces reales, así que no cabe descomponer en fracciones simples. Se separa la integral en dos: en la primera el numerador es, salvo un factor, la derivada del denominador —sale un logaritmo—, y la segunda tiene la forma del arco tangente.

$\int\dfrac{x+4}{x^{2}+4}\,dx=\int\dfrac{x}{x^{2}+4}\,dx+\int\dfrac{4}{x^{2}+4}\,dx$

$\int\dfrac{x}{x^{2}+4}\,dx=\dfrac{1}{2}\int\dfrac{2x}{x^{2}+4}\,dx=\dfrac{1}{2}\ln\left(x^{2}+4\right)+C$

Para la segunda se saca factor común 4 en el denominador y se ajusta la constante para que aparezca la derivada de $\dfrac{x}{2}$.

$\int\dfrac{4}{x^{2}+4}\,dx=\int\dfrac{4}{4\left(\dfrac{x^{2}}{4}+1\right)}\,dx=2\int\dfrac{\dfrac{1}{2}}{\left(\dfrac{x}{2}\right)^{2}+1}\,dx=2\arctan\dfrac{x}{2}+C$

$\int\dfrac{x+4}{x^{2}+4}\,dx=\dfrac{1}{2}\ln\left(x^{2}+4\right)+2\arctan\dfrac{x}{2}+C$

$\textbf{b) } \boldsymbol{\int_1^e \dfrac{(\ln x)^3}{x}\,dx}\textbf{ [1,25 puntos]}$

Es una potencia de $\ln x$ multiplicada por su propia derivada, $\dfrac{1}{x}$, de modo que se trata de una integral inmediata del tipo $\int u^{3}u'\,dx$. Se resuelve y después se aplica la regla de Barrow.

$\int\dfrac{(\ln x)^{3}}{x}\,dx=\dfrac{(\ln x)^{4}}{4}+C$

$\int_1^e\dfrac{(\ln x)^{3}}{x}\,dx=\left[\dfrac{(\ln x)^{4}}{4}\right]_1^e=\dfrac{(\ln e)^{4}}{4}-\dfrac{(\ln 1)^{4}}{4}$

$=\dfrac{1^{4}}{4}-\dfrac{0^{4}}{4}=\dfrac{1}{4}$

La integral definida vale $\dfrac{1}{4}$.