Ejercicio resuelto de Distribución binomial · Matemáticas II

La probabilidad de que un coche de carreras sufra un reventón en un neumático durante una competición es de 0,04. En una competición en la que participan 10 coches:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que se produzcan 2 reventones? [0,5 puntos]

b) Se afirma que existe como mucho un 1 % de posibilidades de que ocurran más de 2 reventones durante la carrera. ¿Es cierta esta afirmación? Justifíquelo. [1 punto]

c) Estudiamos las competiciones realizadas en una temporada con un total de 250 coches. ¿Qué probabilidad hay de que se produzcan más de 12 reventones en total? (Suponiendo la independencia de los sucesos.) [1 punto]

Llamamos $X$ al número de coches que sufren un reventón. Cada coche lo sufre o no lo sufre, con la misma probabilidad y con independencia de los demás, de modo que $X$ sigue una distribución binomial de parámetro

$p=0{,}04,\qquad q=1-p=0{,}96$

$\textbf{a) ¿Cuál es la probabilidad de que se produzcan 2 reventones? [0,5 puntos]}$

$X\sim B(10;\,0{,}04)$

Con solo 10 pruebas no procede aproximar por una normal: se aplica directamente la fórmula de la binomial.

$P(X=2)=\binom{10}{2}\,0{,}04^{2}\cdot 0{,}96^{8}=45\cdot 0{,}0016\cdot 0{,}7214\approx 0{,}0519$

La probabilidad de que en la competición se produzcan exactamente 2 reventones es $0{,}0519$, es decir, un $5{,}19\ \%$.

$\textbf{b) Se afirma que existe como mucho un 1 \% de posibilidades de que ocurran más de 2 reventones durante la carrera. ¿Es cierta esta afirmación? Justifíquelo. [1 punto]}$

Que ocurran más de 2 reventones reúne ocho valores distintos de la variable, de 3 a 10, así que sale mucho más corto pasar al suceso contrario: que haya 2 reventones o menos.

$P(X=0)=\binom{10}{0}\,0{,}04^{0}\cdot 0{,}96^{10}=0{,}96^{10}\approx 0{,}6648$

$P(X=1)=\binom{10}{1}\,0{,}04^{1}\cdot 0{,}96^{9}=10\cdot 0{,}04\cdot 0{,}6925\approx 0{,}2770$

$P(X\le 2)=0{,}6648+0{,}2770+0{,}0519\approx 0{,}9938$

$P(X>2)=1-P(X\le 2)=1-0{,}9938=0{,}0062$

La probabilidad de que ocurran más de 2 reventones es del $0{,}62\ \%$, que no llega al $1\ \%$. La afirmación es, por tanto, cierta.

$\textbf{c) Estudiamos las competiciones realizadas en una temporada con un total de 250 coches. ¿Qué probabilidad hay de que se produzcan más de 12 reventones en total? [1 punto]}$

$X\sim B(250;\,0{,}04)$

Ahora $n$ es grande y se cumplen $np=10>5$ y $nq=240>5$, así que la binomial se aproxima por una normal de la misma media y la misma desviación típica, con la correspondiente corrección por continuidad.

$\mu=np=250\cdot 0{,}04=10$

$\sigma=\sqrt{npq}=\sqrt{250\cdot 0{,}04\cdot 0{,}96}=\sqrt{9{,}6}\approx 3{,}10$

Más de 12 reventones significa 13 o más.

$P(X\ge 13)\approx P(X'>12{,}5)=P\left(Z>\dfrac{12{,}5-10}{3{,}10}\right)=P(Z>0{,}81)$

$=1-\Phi(0{,}81)=1-0{,}7910=0{,}2090$



La probabilidad de que en toda la temporada se produzcan más de 12 reventones es $0{,}2090$, esto es, un $20{,}90\ \%$.