Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2023

En el espacio tridimensional tenemos las ecuaciones de las rectas siguientes:

$r: \begin{cases} 8x + 2y - 3z + 12 = 0 \\ -7x - y + 3z = 9 \end{cases}; \qquad s: x = y + 1 = \dfrac{z-2}{2}$

a) Compruebe que $r$ y $s$ están contenidas en un mismo plano $\pi$ y halle la ecuación de dicho plano. [1,25 puntos]

b) Averigüe la ecuación de la recta que pasa por el punto $P(0,-1,2)$ y corta perpendicularmente a la recta $r$. [1,25 puntos]

$\textbf{a) Compruebe que } \boldsymbol{r}\textbf{ y } \boldsymbol{s}\textbf{ están contenidas en un mismo plano } \boldsymbol{\pi}\textbf{ y halle la ecuación de dicho plano. [1,25 puntos]}$

Dos rectas están en un mismo plano cuando no se cruzan, y eso ocurre exactamente cuando el producto mixto de los dos vectores directores con el vector que une un punto de cada una se anula.

$\vec v_r=\begin{vmatrix}\vec i & \vec j & \vec k\\ 8 & 2 & -3\\ -7 & -1 & 3\end{vmatrix}=(3,-3,6)$

Dividiendo entre 3, $\vec v_r=(1,-1,2)$. Para un punto de $r$, sumando las dos ecuaciones se obtiene $x+y=-3$; con $x=0$ resulta $y=-3$ y, de la primera ecuación, $z=2$.

$P_r(0,-3,2)$

De $s$, escrita en forma continua con parámetro $\mu$:

$x=y+1=\dfrac{z-2}{2}=\mu\Rightarrow s:\begin{cases}x=\mu\\ y=-1+\mu\\ z=2+2\mu\end{cases}\Rightarrow P_s(0,-1,2),\ \vec v_s=(1,1,2)$

$\overrightarrow{P_rP_s}=(0,-1,2)-(0,-3,2)=(0,2,0)$

$\begin{vmatrix}1 & -1 & 2\\ 1 & 1 & 2\\ 0 & 2 & 0\end{vmatrix}=0+0+4-0-4-0=0$

El producto mixto se anula, luego las dos rectas son coplanarias. Además los directores no son proporcionales, así que se cortan y determinan un único plano, cuyo vector normal es el producto vectorial de ambos.

$\vec n=\vec v_r\times\vec v_s=\begin{vmatrix}\vec i & \vec j & \vec k\\ 1 & -1 & 2\\ 1 & 1 & 2\end{vmatrix}=(-4,0,2)$

Dividiendo entre $-2$, $\vec n=(2,0,-1)$.

$\pi:2x-z+D=0$

$P_r(0,-3,2)\in\pi\Rightarrow 0-2+D=0\Rightarrow D=2$

Comprobamos que el plano también contiene a $s$ sustituyendo su punto:

$P_s(0,-1,2):\quad 0-2+2=0$

El plano que contiene a las dos rectas es $\pi:2x-z+2=0$.

$\textbf{b) Averigüe la ecuación de la recta que pasa por el punto } \boldsymbol{P(0,-1,2)}\textbf{ y corta perpendicularmente a la recta } \boldsymbol{r}\textbf{. [1,25 puntos]}$

El punto $P$ es precisamente el punto de $s$ obtenido en el apartado anterior. La recta pedida une $P$ con el pie de la perpendicular trazada desde él a $r$, así que primero se busca ese pie imponiendo que el vector que los une sea perpendicular al director de $r$.

$Q\in r:\ Q(\lambda,-3-\lambda,2+2\lambda)$

$\overrightarrow{PQ}=(\lambda,-3-\lambda+1,2+2\lambda-2)=(\lambda,-2-\lambda,2\lambda)$











$\overrightarrow{PQ}\cdot\vec v_r=0$

$\lambda\cdot 1+(-2-\lambda)(-1)+2\lambda\cdot 2=0$

$\lambda+2+\lambda+4\lambda=0\Rightarrow 6\lambda+2=0\Rightarrow \lambda=-\dfrac{1}{3}$

$Q\left(-\dfrac{1}{3},-\dfrac{8}{3},\dfrac{4}{3}\right)$





$\overrightarrow{PQ}=\left(-\dfrac{1}{3},-\dfrac{5}{3},-\dfrac{2}{3}\right)$

Multiplicando por $-3$, que no cambia la dirección, el vector director queda con coordenadas enteras:

$\vec v_t=(1,5,2)$

Se comprueba la perpendicularidad:

$\vec v_t\cdot\vec v_r=1-5+4=0$

$t:\begin{cases}x=\lambda\\ y=-1+5\lambda\\ z=2+2\lambda\end{cases}\quad \lambda\in\mathbb{R}$

La recta que pasa por $P(0,-1,2)$ y corta perpendicularmente a $r$ es la que tiene vector director $(1,5,2)$; el punto de corte con $r$ es $Q\left(-\dfrac{1}{3},-\dfrac{8}{3},\dfrac{4}{3}\right)$.