Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Dado el siguiente sistema de ecuaciones:

$\begin{cases} -x + ky + 2z = k \\ 2x + ky - z = 2 \\ kx - y + 2z = k \end{cases}$

a) Discuta la compatibilidad del sistema según los diversos valores de $k$. [1,5 puntos]

b) Resuelva el sistema para $k = 2$. [1 punto]

$\textbf{a) Discuta la compatibilidad del sistema según los diversos valores de } \boldsymbol{k}\textbf{. [1,5 puntos]}$

Aplicamos el teorema de Rouché-Frobenius, comparando el rango de la matriz de coeficientes con el de la ampliada y con el número de incógnitas.

$A=\begin{pmatrix}-1 & k & 2\\ 2 & k & -1\\ k & -1 & 2\end{pmatrix},\qquad A^{*}=\left(\begin{array}{ccc|c}-1 & k & 2 & k\\ 2 & k & -1 & 2\\ k & -1 & 2 & k\end{array}\right)$

$|A|=-2k-k^{2}-4-\left(2k^{2}-1+4k\right)=-3k^{2}-6k-3=-3(k+1)^{2}$

$|A|=0\Rightarrow (k+1)^{2}=0\Rightarrow k=-1$

Si $k\neq -1$, entonces $|A|\neq 0$, con lo que $\operatorname{ran}(A)=3$ y, como la ampliada no puede tener rango mayor que 3, también $\operatorname{ran}(A^{*})=3$. Luego

$\operatorname{ran}(A)=\operatorname{ran}(A^{*})=3=\text{nº de incógnitas}$

y el sistema es compatible determinado.

Si $k=-1$:

$A^{*}=\left(\begin{array}{ccc|c}-1 & -1 & 2 & -1\\ 2 & -1 & -1 & 2\\ -1 & -1 & 2 & -1\end{array}\right)$

La primera y la tercera fila son idénticas, término independiente incluido, de modo que la tercera ecuación no aporta nada nuevo y puede eliminarse. Eso hace que las dos matrices tengan el mismo rango.

$\begin{vmatrix}-1 & -1\\ 2 & -1\end{vmatrix}=1+2=3\neq 0\Rightarrow \operatorname{ran}(A)=2$

Todo menor de orden 3 de $A^{*}$ tiene dos filas iguales, luego se anula y $\operatorname{ran}(A^{*})=2$.

$\operatorname{ran}(A)=\operatorname{ran}(A^{*})=2<3=\text{nº de incógnitas}$

y el sistema es compatible indeterminado, con infinitas soluciones que dependen de un parámetro.

Finalmente, el sistema es compatible determinado para todo $k$ distinto de $-1$, y compatible indeterminado para $k=-1$. No es incompatible para ningún valor del parámetro.

$\textbf{b) Resuelva el sistema para } \boldsymbol{k = 2}\textbf{. [1 punto]}$

Como $2\neq -1$, por el apartado anterior el sistema es compatible determinado y tiene solución única.

$\begin{cases}-x+2y+2z=2\\ 2x+2y-z=2\\ 2x-y+2z=2\end{cases}$

Despejamos $x$ en la primera ecuación y lo llevamos a las otras dos.

$x=2y+2z-2$

$2(2y+2z-2)+2y-z=2\Rightarrow 6y+3z=6\Rightarrow 2y+z=2$

$2(2y+2z-2)-y+2z=2\Rightarrow 3y+6z=6\Rightarrow y+2z=2$

Del sistema de dos ecuaciones que queda, multiplicando la segunda por 2 y restando:

$(2y+4z)-(2y+z)=4-2\Rightarrow 3z=2\Rightarrow z=\dfrac{2}{3}$

$y=2-2z=2-\dfrac{4}{3}=\dfrac{2}{3}$

$x=2\cdot\dfrac{2}{3}+2\cdot\dfrac{2}{3}-2=\dfrac{8}{3}-2=\dfrac{2}{3}$

Comprobamos en la tercera ecuación del sistema, que no se ha usado para despejar:

$2\cdot\dfrac{2}{3}-\dfrac{2}{3}+2\cdot\dfrac{2}{3}=\dfrac{4-2+4}{3}=2$

Para $k=2$ la solución del sistema es $x=y=z=\dfrac{2}{3}$.