Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2023

Resuelva los siguientes apartados:

a) Averigüe el valor de $k$ para que sea cierta la siguiente igualdad:

$\displaystyle\lim_{x \to -2} \dfrac{kx^2 - 4k}{x^2 + 6x + 8} = \dfrac{3}{2}$ [1 punto]

b) Resuelva la siguiente integral indefinida: $\displaystyle\int x\sqrt{2x-1}\,dx$ [1,5 puntos]

$\textbf{a) Averigüe el valor de } \boldsymbol{k}\textbf{ para que sea cierta la siguiente igualdad. [1 punto]}$

Al sustituir $x$ por $-2$ tanto el numerador como el denominador se anulan, así que aparece una indeterminación del tipo $\frac{0}{0}$. Se rompe factorizando los dos polinomios y simplificando el factor común, que necesariamente es $x+2$.

$kx^{2}-4k=k\left(x^{2}-4\right)=k(x-2)(x+2)$

$x^{2}+6x+8=(x+2)(x+4)$

$\lim_{x\to -2}\dfrac{k(x-2)(x+2)}{(x+2)(x+4)}=\lim_{x\to -2}\dfrac{k(x-2)}{x+4}=\dfrac{k(-2-2)}{-2+4}=\dfrac{-4k}{2}=-2k$

Ahora se impone que ese valor sea el que pide el enunciado.

$-2k=\dfrac{3}{2}\Rightarrow k=-\dfrac{3}{4}$

El valor buscado es $k=-\dfrac{3}{4}$.

$\textbf{b) Resuelva la siguiente integral indefinida: } \boldsymbol{\int x\sqrt{2x-1}\,dx}\textbf{. [1,5 puntos]}$

La integral se resuelve por cambio de variable, tomando como nueva variable el radicando: así la raíz se convierte en una potencia y el integrando en una suma de potencias inmediatas.

$t=2x-1\Rightarrow x=\dfrac{t+1}{2},\qquad dt=2\,dx\Rightarrow dx=\dfrac{dt}{2}$

$\int x\sqrt{2x-1}\,dx=\int\dfrac{t+1}{2}\sqrt{t}\,\dfrac{dt}{2}=\dfrac{1}{4}\int\left(t^{3/2}+t^{1/2}\right)dt$

$=\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{2}{5}t^{5/2}+\dfrac{2}{3}t^{3/2}\right)+C=\dfrac{1}{10}t^{5/2}+\dfrac{1}{6}t^{3/2}+C$

Se deshace el cambio para volver a la variable original.

$\int x\sqrt{2x-1}\,dx=\dfrac{1}{10}\sqrt{(2x-1)^{5}}+\dfrac{1}{6}\sqrt{(2x-1)^{3}}+C$

Sacando factor común $\sqrt{(2x-1)^{3}}$ el resultado se compacta:

$=\sqrt{(2x-1)^{3}}\left(\dfrac{2x-1}{10}+\dfrac{1}{6}\right)+C=\dfrac{(3x+1)\sqrt{(2x-1)^{3}}}{15}+C$

La integral pedida vale $\dfrac{(3x+1)\sqrt{(2x-1)^{3}}}{15}+C$, expresión válida para $x\ge\dfrac{1}{2}$, que es donde existe la raíz.