Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas II · 2023

Las ventas de un determinado producto vienen dadas por el siguiente modelo:

$V(t) = \dfrac{5t^2}{8 + t^2}, \qquad t \ge 0$

donde $V(t)$ son las ventas en miles y $t$ mide el tiempo desde que se inicia la venta del producto, en meses.

a) Calcule las tasas de variación media del primer y segundo semestre. Compare e interprete los resultados. [0,75 puntos]

b) Se afirma que este modelo es creciente en su dominio. Justifique si esta afirmación es correcta. [0,75 puntos]

c) ¿En qué momento las ventas alcanzan 4000 unidades? [0,5 puntos]

d) Si el producto se vende a 2 € la unidad y los ingresos de esta empresa se modelizan teniendo en cuenta las ventas mensuales, ¿hacia dónde tienden los ingresos con el paso del tiempo? Justifique la respuesta. [0,5 puntos]

$\textbf{a) Calcule las tasas de variación media del primer y segundo semestre. Compare e interprete los resultados. [0,75 puntos]}$

La tasa de variación media en un intervalo es el incremento de la función dividido entre la amplitud del intervalo. El tiempo se mide en meses, así que el primer semestre es $[0,6]$ y el segundo $[6,12]$.

$V(0)=\dfrac{0}{8}=0$

$V(6)=\dfrac{5\cdot 36}{8+36}=\dfrac{180}{44}=\dfrac{45}{11}\approx 4{,}0909$

$V(12)=\dfrac{5\cdot 144}{8+144}=\dfrac{720}{152}=\dfrac{90}{19}\approx 4{,}7368$

$\text{T.V.M.}[0,6]=\dfrac{V(6)-V(0)}{6-0}=\dfrac{4{,}0909-0}{6}\approx 0{,}6818$

$\text{T.V.M.}[6,12]=\dfrac{V(12)-V(6)}{12-6}=\dfrac{4{,}7368-4{,}0909}{6}\approx 0{,}1077$

Durante el primer semestre las ventas aumentan a razón de unas 682 unidades por mes, y durante el segundo solo a razón de unas 108. El producto sigue vendiendo más cada mes, pero el ritmo de crecimiento se ha reducido a menos de la sexta parte: el mercado se va saturando.

$\textbf{b) Se afirma que este modelo es creciente en su dominio. Justifique si esta afirmación es correcta. [0,75 puntos]}$

El crecimiento se estudia con el signo de la derivada, que calculamos con la regla del cociente.

$V'(t)=\dfrac{10t\left(8+t^{2}\right)-5t^{2}\cdot 2t}{\left(8+t^{2}\right)^{2}}=\dfrac{80t+10t^{3}-10t^{3}}{\left(8+t^{2}\right)^{2}}=\dfrac{80t}{\left(8+t^{2}\right)^{2}}$

El denominador es un cuadrado y nunca se anula; el numerador es positivo para todo $t>0$. Luego $V'(t)>0$ en todo el dominio salvo en el extremo $t=0$, donde se anula.



La afirmación es correcta: el modelo es creciente en todo su dominio. Eso no significa, sin embargo, que las ventas crezcan sin límite, como se verá en el último apartado.

$\textbf{c) ¿En qué momento las ventas alcanzan 4000 unidades? [0,5 puntos]}$

La función devuelve las ventas en miles, de modo que 4000 unidades corresponden a $V(t)=4$.

$\dfrac{5t^{2}}{8+t^{2}}=4\Rightarrow 5t^{2}=32+4t^{2}\Rightarrow t^{2}=32$

$t=\pm\sqrt{32}=\pm 4\sqrt{2}$

Se descarta la solución negativa porque el dominio es $t\ge 0$.

$t=4\sqrt{2}\approx 5{,}66$

Las ventas alcanzan las 4000 unidades a los $5{,}66$ meses del inicio, es decir, a los 5 meses y 20 días aproximadamente.

$\textbf{d) Si el producto se vende a 2 € la unidad y los ingresos de esta empresa se modelizan teniendo en cuenta las ventas mensuales, ¿hacia dónde tienden los ingresos con el paso del tiempo? Justifique la respuesta. [0,5 puntos]}$

Los ingresos mensuales son el producto del precio unitario por el número de unidades vendidas, así que la función de ingresos es $I(t)=2\,V(t)$, medida en miles de euros. Basta, pues, calcular el límite de las ventas y multiplicarlo por 2. Es un cociente de polinomios del mismo grado, de modo que el límite es el cociente de los coeficientes principales.

$\lim_{t\to +\infty}V(t)=\lim_{t\to +\infty}\dfrac{5t^{2}}{8+t^{2}}=\dfrac{5}{1}=5$

$\lim_{t\to +\infty}I(t)=2\cdot 5=10$

Con el paso del tiempo los ingresos tienden a 10 miles de euros mensuales, esto es, a 10 000 € al mes. La recta $V=5$ es una asíntota horizontal de las ventas: por mucho que pase el tiempo no se llegan a vender 5000 unidades al mes, y los ingresos no superan esa cota.