Ejercicio resuelto de Distribución normal · Matemáticas II · 2023

Las estaturas de las personas que se presentan a una audición para participar en una película siguen una distribución normal de media 168 cm y desviación típica 8 cm.

a) Si se selecciona una persona participante en la audición, averigüe la probabilidad de que tenga una estatura mayor a 156 cm. [1 punto]

b) Se afirma que más del 15 % de los participantes en la audición medían más de 1,82 metros. Justifique la veracidad o falsedad de dicha afirmación. [0,75 puntos]

c) ¿Qué probabilidad hay de que, elegida una persona al azar, su estatura se encuentre entre 166 y 172 cm? [0,75 puntos]

Llamamos $X$ a la estatura, en centímetros, de una persona que se presenta a la audición. Según el enunciado:

$X\sim N(\mu,\sigma)=N(168,\,8)$

En los tres apartados se tipifica la variable para poder usar la tabla de la $N(0,1)$, que solo recoge valores positivos de $z$.

$Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}=\dfrac{X-168}{8}\sim N(0,1)$

$\textbf{a) Si se selecciona una persona participante en la audición, averigüe la probabilidad de que tenga una estatura mayor a 156 cm. [1 punto]}$

$P(X>156)=P\left(Z>\dfrac{156-168}{8}\right)=P(Z>-1{,}5)$

Por la simetría de la campana respecto del eje de ordenadas, el área que queda a la derecha de $-1{,}5$ es la misma que la que queda a la izquierda de $1{,}5$:

$P(Z>-1{,}5)=P(Z<1{,}5)=\Phi(1{,}5)=0{,}9332$



La probabilidad de que una persona elegida al azar mida más de 156 cm es $0{,}9332$, es decir, un $93{,}32\ \%$.

$\textbf{b) Se afirma que más del 15 \% de los participantes en la audición medían más de 1,82 metros. Justifique la veracidad o falsedad de dicha afirmación. [0,75 puntos]}$

Se pasa la estatura a centímetros, que es la unidad en la que están la media y la desviación típica: $1{,}82$ metros son 182 cm.

$P(X>182)=P\left(Z>\dfrac{182-168}{8}\right)=P(Z>1{,}75)$

$=1-\Phi(1{,}75)=1-0{,}9599=0{,}0401$



Solo un $4{,}01\ \%$ de los participantes superaba $1{,}82$ metros, muy por debajo del $15\ \%$ que se afirma. La afirmación es, por tanto, falsa.

$\textbf{c) ¿Qué probabilidad hay de que, elegida una persona al azar, su estatura se encuentre entre 166 y 172 cm? [0,75 puntos]}$

$P(166<X<172)=P\left(\dfrac{166-168}{8}<Z<\dfrac{172-168}{8}\right)=P(-0{,}25<Z<0{,}5)$

$=\Phi(0{,}5)-\Phi(-0{,}25)=\Phi(0{,}5)-\left[1-\Phi(0{,}25)\right]$

$=0{,}6915-(1-0{,}5987)=0{,}6915-0{,}4013=0{,}2902$



La probabilidad de que una persona elegida al azar mida entre 166 y 172 cm es $0{,}2902$, esto es, un $29{,}02\ \%$.