Ejercicio resuelto de Distribución binomial · Matemáticas II

Según el estudio TALIS (2018), el 11 % de los docentes de Educación Secundaria en España son menores de 30 años.

a) Elegimos 15 docentes españoles, ¿qué probabilidad hay de que haya menos de 2 docentes menores de 30 años? [1 punto]

b) Supongamos que se seleccionan al azar 200 docentes españoles. ¿Qué probabilidad hay de que entre 20 y 30 docentes sean menores de 30 años? [1 punto]

c) En un grupo de 500 docentes españoles, ¿cuántos cabe esperar que sean mayores de 30 años? [0,5 puntos]

Llamamos $X$ al número de docentes menores de 30 años del grupo elegido. Cada docente lo es o no lo es, con la misma probabilidad y con independencia de los demás, de modo que $X$ sigue una distribución binomial de parámetro

$p=0{,}11,\qquad q=1-p=0{,}89$

$\textbf{a) Elegimos 15 docentes españoles, ¿qué probabilidad hay de que haya menos de 2 docentes menores de 30 años? [1 punto]}$

$X\sim B(15;\,0{,}11)$

Con solo 15 pruebas no procede aproximar por una normal: se calcula la binomial directamente. Que haya menos de 2 significa que haya 0 o 1, dos sucesos incompatibles cuyas probabilidades se suman.

$P(X<2)=P(X=0)+P(X=1)$

$P(X=0)=\binom{15}{0}\,0{,}11^{0}\cdot 0{,}89^{15}=0{,}89^{15}\approx 0{,}1741$

$P(X=1)=\binom{15}{1}\,0{,}11^{1}\cdot 0{,}89^{14}=15\cdot 0{,}11\cdot 0{,}89^{14}\approx 0{,}3228$

$P(X<2)=0{,}1741+0{,}3228=0{,}4969$

La probabilidad de que entre los 15 docentes haya menos de 2 menores de 30 años es $0{,}4969$, es decir, un $49{,}69\ \%$.

$\textbf{b) Supongamos que se seleccionan al azar 200 docentes españoles. ¿Qué probabilidad hay de que entre 20 y 30 docentes sean menores de 30 años? [1 punto]}$

$X\sim B(200;\,0{,}11)$

Ahora $n$ es grande y se cumplen $np=22>5$ y $nq=178>5$, así que la binomial se aproxima por una normal de la misma media y la misma desviación típica, con la correspondiente corrección por continuidad.

$\mu=np=200\cdot 0{,}11=22$

$\sigma=\sqrt{npq}=\sqrt{200\cdot 0{,}11\cdot 0{,}89}=\sqrt{19{,}58}\approx 4{,}42$

$P(20\le X\le 30)\approx P(19{,}5<X'<30{,}5)$

$=P\left(\dfrac{19{,}5-22}{4{,}42}<Z<\dfrac{30{,}5-22}{4{,}42}\right)=P(-0{,}56<Z<1{,}92)$

$=\Phi(1{,}92)-\left[1-\Phi(0{,}56)\right]=0{,}9726-(1-0{,}7123)$

$=0{,}9726-0{,}2877=0{,}6849$



La probabilidad de que entre los 200 docentes haya entre 20 y 30 menores de 30 años es $0{,}6849$, es decir, un $68{,}49\ \%$.

$\textbf{c) En un grupo de 500 docentes españoles, ¿cuántos cabe esperar que sean mayores de 30 años? [0,5 puntos]}$

Ahora el suceso que interesa es el contrario del anterior, así que su probabilidad es $q=0{,}89$, y el número esperado de éxitos de una binomial es el producto del número de pruebas por esa probabilidad.

$\mu=nq=500\cdot 0{,}89=445$

En un grupo de 500 docentes españoles cabe esperar que 445 sean mayores de 30 años.