Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2023

En el espacio tridimensional tenemos las siguientes ecuaciones de rectas:

$r: \begin{cases} x + 2y - 7z = 0 \\ 2x + 3y - 12z + 1 = 0 \end{cases}; \qquad s: \begin{cases} 2x - 7y - 3z = 22 \\ x - y + z = 1 \end{cases}$

a) Estudie la posición relativa de $r$ y $s$. [1,25 puntos]

b) Halle la ecuación del plano que contiene a $r$ y es paralelo a $s$. [1,25 puntos]

$\textbf{a) Estudie la posición relativa de } \boldsymbol{r}\textbf{ y } \boldsymbol{s}\textbf{. [1,25 puntos]}$

Se comparan primero los vectores directores —si fueran proporcionales las rectas serían paralelas o coincidentes— y, si no lo son, se estudia el producto mixto de los dos directores con el vector que une un punto de cada recta: si se anula, las rectas se cortan; si no, se cruzan.

$\vec v_r=\begin{vmatrix}\vec i & \vec j & \vec k\\ 1 & 2 & -7\\ 2 & 3 & -12\end{vmatrix}=(-3,-2,-1)$

$\vec v_s=\begin{vmatrix}\vec i & \vec j & \vec k\\ 2 & -7 & -3\\ 1 & -1 & 1\end{vmatrix}=(-10,-5,5)$

Dividiendo entre $-5$, $\vec v_s=(2,1,-1)$. Los dos directores no son proporcionales, pues $\dfrac{-3}{2}\neq\dfrac{-2}{1}$, así que las rectas no son paralelas.

Buscamos un punto de cada recta haciendo $z=0$ en sus ecuaciones:

$\begin{cases}x+2y=0\\ 2x+3y=-1\end{cases}\Rightarrow x=-2,\ y=1\Rightarrow P_r(-2,1,0)$

$\begin{cases}2x-7y=22\\ x-y=1\end{cases}\Rightarrow x=-3,\ y=-4\Rightarrow P_s(-3,-4,0)$

$\overrightarrow{P_rP_s}=(-3,-4,0)-(-2,1,0)=(-1,-5,0)$

$\begin{vmatrix}-3 & -2 & -1\\ 2 & 1 & -1\\ -1 & -5 & 0\end{vmatrix}=0-2+10-\left(1-15+0\right)=8+14=22\neq 0$

El producto mixto no se anula, luego los tres vectores no son coplanarios: las rectas $r$ y $s$ se cruzan.

$\textbf{b) Halle la ecuación del plano que contiene a } \boldsymbol{r}\textbf{ y es paralelo a } \boldsymbol{s}\textbf{. [1,25 puntos]}$

Un plano que contenga a $r$ y sea paralelo a $s$ tiene por vectores directores los de las dos rectas y pasa por cualquier punto de $r$. Su vector normal es, por tanto, el producto vectorial de los dos directores.

$\vec n=\vec v_r\times\vec v_s=\begin{vmatrix}\vec i & \vec j & \vec k\\ -3 & -2 & -1\\ 2 & 1 & -1\end{vmatrix}=(3,-5,1)$

$\pi:3x-5y+z+D=0$

$P_r(-2,1,0)\in\pi\Rightarrow -6-5+0+D=0\Rightarrow D=11$



Falta comprobar que $s$ queda realmente fuera del plano, porque si estuviera dentro no sería paralela sino contenida. Basta sustituir su punto:

$P_s(-3,-4,0):\quad 3\cdot(-3)-5\cdot(-4)+0+11=-9+20+11=22\neq 0$

El plano pedido es $\pi:3x-5y+z+11=0$: contiene a $r$ y es paralelo a $s$, que no pertenece a él.