Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2023

En el espacio tridimensional consideramos el plano y las rectas siguientes:

$\pi: 2x + 3y - z = 4; \qquad r: \begin{cases} x + y - z = 0 \\ 2x + 5y + z = 0 \end{cases}; \qquad s: \dfrac{x-1}{1} = \dfrac{y-2}{0} = \dfrac{z-3}{1}$

a) Calcule el punto simétrico de $P(-2,1,2)$ respecto de $\pi$. [1,25 puntos]

b) Calcule el ángulo que forman $r$ y $s$. [1,25 puntos]

$\textbf{a) Calcule el punto simétrico de } \boldsymbol{P(-2,1,2)}\textbf{ respecto de } \boldsymbol{\pi}\textbf{. [1,25 puntos]}$

El procedimiento tiene tres fases.











i) Construimos una recta $t$ que, pasando por $P$, sea perpendicular a $\pi$; su vector director es el normal del plano.

$t:\begin{cases}x=-2+2\lambda\\ y=1+3\lambda\\ z=2-\lambda\end{cases}\quad \lambda\in\mathbb{R}$

Punto $\to P(-2,1,2)$

Vector director $\to \vec v_t=\vec n_{\pi}=(2,3,-1)$





ii) Calculamos $R$, el pie de la perpendicular, como intersección de $t$ con $\pi$:

$2(-2+2\lambda)+3(1+3\lambda)-(2-\lambda)=-4+4\lambda+3+9\lambda-2+\lambda=14\lambda-3$

$14\lambda-3=4\Rightarrow \lambda=\dfrac{1}{2}$

$R\left(-1,\dfrac{5}{2},\dfrac{3}{2}\right)$

iii) Basta razonar que $R$ es el punto medio del segmento $\overline{PP'}$. Así:

$R=\left(\dfrac{-2+P'_x}{2},\dfrac{1+P'_y}{2},\dfrac{2+P'_z}{2}\right)$

$\begin{cases}-1=\dfrac{-2+P'_x}{2}\Rightarrow P'_x=0\\ \dfrac{5}{2}=\dfrac{1+P'_y}{2}\Rightarrow P'_y=4\\ \dfrac{3}{2}=\dfrac{2+P'_z}{2}\Rightarrow P'_z=1\end{cases}$

El simétrico de $P$ respecto del plano $\pi$ es el punto $P'(0,4,1)$.

$\textbf{b) Calcule el ángulo que forman } \boldsymbol{r}\textbf{ y } \boldsymbol{s}\textbf{. [1,25 puntos]}$

El ángulo que forman dos rectas es el que forman sus vectores directores, tomado siempre agudo; de ahí el valor absoluto en el producto escalar. De $r$, dada como intersección de dos planos, el vector director es el producto vectorial de las normales.

$\vec v_r=\begin{vmatrix}\vec i & \vec j & \vec k\\ 1 & 1 & -1\\ 2 & 5 & 1\end{vmatrix}=(6,-3,3)$

Dividiendo entre 3, $\vec v_r=(2,-1,1)$. De $s$, escrita en forma continua, se lee directamente $\vec v_s=(1,0,1)$.

$\cos\alpha=\dfrac{\left|\vec v_r\cdot\vec v_s\right|}{\left|\vec v_r\right|\left|\vec v_s\right|}=\dfrac{|2+0+1|}{\sqrt{4+1+1}\cdot\sqrt{1+0+1}}=\dfrac{3}{\sqrt{6}\cdot\sqrt{2}}$

$=\dfrac{3}{\sqrt{12}}=\dfrac{3}{2\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

$\alpha=\arccos\dfrac{\sqrt{3}}{2}=30^{\circ}$

Las rectas $r$ y $s$ forman un ángulo de exactamente $30^{\circ}$.