Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Un bar de tapas canario solo ofrece tres platos en su menú: escaldón, tollos y carajacas. El precio medio de los tres platos (la ración) es de 5 €. Se sirven 30 raciones de escaldón, 20 raciones de tollos y 10 raciones de carajacas, por lo que se ingresaron 255 euros en total. Sabiendo que el triple del precio de las carajacas supera en diez euros el doble del precio de los tollos, calcule el precio de la ración de cada producto. [2,5 puntos]

Se resuelve planteando un sistema de ecuaciones lineales. Llamamos:

$x \equiv$ precio en euros de una ración de escaldón

$y \equiv$ precio en euros de una ración de tollos

$z \equiv$ precio en euros de una ración de carajacas

La primera condición dice que la media de los tres precios es 5 €; la segunda, que las 60 raciones servidas suman 255 €; la tercera, que el triple del precio de las carajacas supera en 10 € al doble del de los tollos.

$\begin{cases}\dfrac{x+y+z}{3}=5\\ 30x+20y+10z=255\\ 3z=2y+10\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}x+y+z=15\\ 6x+4y+2z=51\\ -2y+3z=10\end{cases}$

La segunda ecuación se ha simplificado dividiendo entre 5. Despejamos $x$ en la primera y lo sustituimos en la segunda para eliminar una incógnita.

$x=15-y-z$

$6(15-y-z)+4y+2z=51\Rightarrow 90-6y-6z+4y+2z=51$

$-2y-4z=-39\Rightarrow 2y+4z=39$

Sumamos esta ecuación con la tercera del sistema, con lo que desaparece $y$:

$(2y+4z)+(-2y+3z)=39+10\Rightarrow 7z=49\Rightarrow z=7$

$2y=39-4\cdot 7=11\Rightarrow y=5{,}5$

$x=15-5{,}5-7=2{,}5$

Comprobamos el resultado en la ecuación de los ingresos:

$30\cdot 2{,}5+20\cdot 5{,}5+10\cdot 7=75+110+70=255$

La ración de escaldón cuesta $2{,}50$ €, la de tollos $5{,}50$ € y la de carajacas 7 €.