Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas II · 2023

Se quiere construir una Casa de la Juventud de $240\ \mathrm{m^2}$ de superficie, que estará rodeada por una zona ajardinada con las dimensiones de la imagen.



Si se quiere minimizar la superficie total de la zona ajardinada, ¿qué dimensiones debe tener la Casa de la Juventud? ¿Cuál es el área de la zona ajardinada? [2,5 puntos]

Es un problema de optimización con soporte geométrico. Llamamos $x$ e $y$ a las dimensiones de la Casa de la Juventud, en metros, y escribimos primero la magnitud que hay que minimizar y después la relación que liga las dos variables.

Según la imagen, la parcela entera mide $x+3+7=x+10$ metros de ancho y $y+3+3=y+6$ metros de alto, y la zona ajardinada es lo que queda al descontar la casa.

$S=(x+10)(y+6)-240$



La condición del enunciado es que la casa tenga $240\ \text{m}^{2}$, lo que permite despejar una variable en función de la otra y dejar la superficie ajardinada como función de una sola.

$xy=240\Rightarrow y=\dfrac{240}{x}$

$S(x)=(x+10)\left(\dfrac{240}{x}+6\right)-240=240+6x+\dfrac{2400}{x}+60-240$

$S(x)=6x+\dfrac{2400}{x}+60,\qquad x>0$

Buscamos los puntos críticos igualando la derivada a cero.

$S'(x)=6-\dfrac{2400}{x^{2}}$

$6-\dfrac{2400}{x^{2}}=0\Rightarrow x^{2}=\dfrac{2400}{6}=400\Rightarrow x=\pm 20$

Se descarta la solución negativa por ser $x$ la medida del lado de un rectángulo. Para confirmar que en $x=20$ hay un mínimo estudiamos el signo de la segunda derivada.

$S''(x)=\dfrac{4800}{x^{3}}\Rightarrow S''(20)=\dfrac{4800}{8000}=0{,}6>0\Rightarrow \text{mínimo}$

Como es el único extremo de la función en $x>0$, ese mínimo relativo es también el mínimo absoluto.

$y=\dfrac{240}{20}=12$

$S(20)=6\cdot 20+\dfrac{2400}{20}+60=120+120+60=300$

La Casa de la Juventud debe medir 20 m de ancho por 12 m de fondo, y con esas dimensiones la zona ajardinada ocupa $300\ \text{m}^{2}$: la parcela entera mide $30\times 18=540\ \text{m}^{2}$, de los que $240\ \text{m}^{2}$ son el edificio.