Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · 2023

Halle la función polinómica $f(x)$ que verifica que tiene un punto mínimo en $M(1,2)$ y su segunda derivada es $f''(x) = 2x + 3$. Dé la expresión de $f(x)$. [2,5 puntos]

Se conoce la segunda derivada de la función y un punto que es mínimo, así que el camino es integrar dos veces. Cada integración deja una constante, y las dos condiciones del enunciado —que la derivada primera se anula en el mínimo y que la gráfica pasa por $M$— son justo las que hacen falta para determinarlas.

$f''(x)=2x+3\Rightarrow f'(x)=\int(2x+3)\,dx=x^{2}+3x+C$

En un extremo relativo la derivada primera se anula, de modo que $f'(1)=0$.

$f'(1)=1^{2}+3\cdot 1+C=0\Rightarrow 4+C=0\Rightarrow C=-4$

$f'(x)=x^{2}+3x-4$

$f(x)=\int\left(x^{2}+3x-4\right)dx=\dfrac{x^{3}}{3}+\dfrac{3x^{2}}{2}-4x+D$

La gráfica pasa por $M(1,2)$, luego $f(1)=2$.

$\dfrac{1}{3}+\dfrac{3}{2}-4+D=2\Rightarrow D=2+4-\dfrac{1}{3}-\dfrac{3}{2}=\dfrac{36-2-9}{6}=\dfrac{25}{6}$

Queda por comprobar que en $x=1$ hay efectivamente un mínimo y no otro tipo de extremo, lo que se decide con el signo de la segunda derivada.

$f''(1)=2\cdot 1+3=5>0\Rightarrow \text{mínimo relativo}$

La función polinómica pedida es $f(x)=\dfrac{x^{3}}{3}+\dfrac{3x^{2}}{2}-4x+\dfrac{25}{6}$.