Ejercicio resuelto de Distribución binomial · Matemáticas II

El delantero de un equipo de fútbol suele marcar gol en tres de cada cinco penaltis lanzados. Sabemos que realiza 70 lanzamientos en cada entrenamiento.

a) Calcule la probabilidad de marcar entre 40 y 45 penaltis en un entrenamiento. [1,25 puntos]

b) Si la probabilidad de que marque más de la mitad de los penaltis es superior al 90 %, se seleccionará para jugar en una categoría superior. ¿Será seleccionado este delantero? Justifique la respuesta. [0,75 puntos]

c) Si en una temporada lanza 450 penaltis, calcule el número de penaltis que se espera que haya marcado este jugador durante una temporada. [0,5 puntos]

Llamamos $X$ al número de penaltis que marca el delantero en un entrenamiento. Cada lanzamiento se transforma o no, siempre con la misma probabilidad y con independencia de los demás, de modo que:

$p=\dfrac{3}{5}=0{,}6,\qquad q=0{,}4,\qquad X\sim B(70;\,0{,}6)$

Como $np=42>5$ y $nq=28>5$, la binomial se aproxima por una normal de la misma media y la misma desviación típica, aplicando la corrección por continuidad al pasar de la variable discreta a la continua.

$\mu=np=70\cdot 0{,}6=42$

$\sigma=\sqrt{npq}=\sqrt{70\cdot 0{,}6\cdot 0{,}4}=\sqrt{16{,}8}\approx 4{,}10$

$X'\sim N(42;\,4{,}10)$

$\textbf{a) Calcule la probabilidad de marcar entre 40 y 45 penaltis en un entrenamiento. [1,25 puntos]}$

$P(40\le X\le 45)\approx P(39{,}5<X'<45{,}5)$

$=P\left(\dfrac{39{,}5-42}{4{,}10}<Z<\dfrac{45{,}5-42}{4{,}10}\right)=P(-0{,}61<Z<0{,}85)$

$=\Phi(0{,}85)-\left[1-\Phi(0{,}61)\right]=0{,}8023-(1-0{,}7291)$

$=0{,}8023-0{,}2709=0{,}5314$



La probabilidad de que marque entre 40 y 45 penaltis en un entrenamiento es $0{,}5314$, es decir, un $53{,}14\ \%$.

$\textbf{b) Si la probabilidad de que marque más de la mitad de los penaltis es superior al 90 \%, se seleccionará para jugar en una categoría superior. ¿Será seleccionado este delantero? Justifique la respuesta. [0,75 puntos]}$

La mitad de los 70 lanzamientos son 35, así que marcar más de la mitad significa marcar 36 penaltis o más.

$P(X\ge 36)\approx P(X'>35{,}5)=P\left(Z>\dfrac{35{,}5-42}{4{,}10}\right)=P(Z>-1{,}59)$

Por la simetría de la campana respecto del eje de ordenadas, el área que queda a la derecha de $-1{,}59$ es la misma que la que queda a la izquierda de $1{,}59$:

$P(Z>-1{,}59)=P(Z<1{,}59)=\Phi(1{,}59)=0{,}9441$



La probabilidad de marcar más de la mitad de los penaltis es $0{,}9441$, superior al $90\ \%$, de modo que el delantero sí será seleccionado para jugar en una categoría superior.

$\textbf{c) Si en una temporada lanza 450 penaltis, calcule el número de penaltis que se espera que haya marcado este jugador durante una temporada. [0,5 puntos]}$

El número esperado de éxitos de una binomial es el producto del número de pruebas por la probabilidad de éxito en cada una, sin que haga falta ninguna aproximación.

$\mu=np=450\cdot 0{,}6=270$

Se espera que a lo largo de la temporada el delantero marque 270 de los 450 penaltis lanzados.