Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2024

Responda a las siguientes cuestiones:

a) Justifique si pueden existir vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$, que comparten el punto de origen, y cumplen que $|\vec{u}| = 2$, $|\vec{v}| = 3$ y $\vec{u} \cdot \vec{v} = 8$. [0,75 puntos]

b) En el espacio tridimensional, dados el plano y la recta secantes siguientes:

$\pi: x + 3y + 2z + 3 = 0, \qquad r: \begin{cases} 2x - 3y - z = 4 \\ x + y + 2z = -3 \end{cases}$

calcule el punto de corte de la recta y el plano, así como el ángulo que forman. [1,75 puntos]

$\textbf{a) Justifique si pueden existir vectores } \boldsymbol{\vec{u}}\textbf{ y } \boldsymbol{\vec{v}}\textbf{, que comparten el punto de origen, y cumplen que } \boldsymbol{|\vec{u}| = 2}\textbf{, } \boldsymbol{|\vec{v}| = 3}\textbf{ y } \boldsymbol{\vec{u} \cdot \vec{v} = 8}\textbf{. [0,75 puntos]}$

Suponemos que esos vectores existen y sacamos consecuencias de la definición geométrica del producto escalar, que relaciona los tres datos del enunciado con el ángulo que forman.

$\vec u\cdot\vec v=\left|\vec u\right|\left|\vec v\right|\cos\theta\Rightarrow \cos\theta=\dfrac{\vec u\cdot\vec v}{\left|\vec u\right|\left|\vec v\right|}$

$\cos\theta=\dfrac{8}{2\cdot 3}=\dfrac{4}{3}\approx 1{,}33$

El coseno de un ángulo no puede ser mayor que 1, luego se llega a una contradicción.

No pueden existir dos vectores con esos módulos y ese producto escalar. Dicho de otro modo, la desigualdad de Cauchy-Schwarz obliga a que $\left|\vec u\cdot\vec v\right|\le\left|\vec u\right|\left|\vec v\right|=6$, y el enunciado pide que ese producto valga 8.

$\textbf{b) En el espacio tridimensional, dados el plano y la recta secantes siguientes, calcule el punto de corte de la recta y el plano, así como el ángulo que forman. [1,75 puntos]}$

Escribimos la recta en paramétricas y llevamos su punto genérico a la ecuación del plano; el valor del parámetro que la satisfaga da el punto de corte. Empezamos por el vector director, que es el producto vectorial de las normales de los dos planos que definen $r$.

$\vec v_r=\begin{vmatrix}\vec i & \vec j & \vec k\\ 2 & -3 & -1\\ 1 & 1 & 2\end{vmatrix}=(-5,-5,5)$

Dividiendo entre $-5$, $\vec v_r=(1,1,-1)$. Para un punto de $r$ hacemos $z=0$:

$\begin{cases}2x-3y=4\\ x+y=-3\end{cases}\Rightarrow x=-1,\ y=-2\Rightarrow P_r(-1,-2,0)$

$r:\begin{cases}x=-1+\lambda\\ y=-2+\lambda\\ z=-\lambda\end{cases}\quad \lambda\in\mathbb{R}$

$(-1+\lambda)+3(-2+\lambda)+2(-\lambda)+3=-1+\lambda-6+3\lambda-2\lambda+3=2\lambda-4$

$2\lambda-4=0\Rightarrow \lambda=2\Rightarrow (1,0,-2)$











El ángulo entre una recta y un plano es el complementario del que forman el vector director y el vector normal, así que el producto escalar de estos dos da directamente su seno.

$\operatorname{sen}\alpha=\dfrac{\left|\vec v_r\cdot\vec n_{\pi}\right|}{\left|\vec v_r\right|\left|\vec n_{\pi}\right|}=\dfrac{|1+3-2|}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{14}}$

$=\dfrac{2}{\sqrt{42}}=\dfrac{\sqrt{42}}{21}\approx 0{,}3086$

$\alpha=\operatorname{arcsen}(0{,}3086)\approx 17^{\circ}\,58'\,31''$





La recta corta al plano en el punto $(1,0,-2)$ —se comprueba en la ecuación de $\pi$: $1+0-4+3=0$— y ambos forman un ángulo de, aproximadamente, $17^{\circ}\,59'$.