Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2024

En el espacio tridimensional tenemos las rectas siguientes:

$r_1: \begin{cases} x - 3y + 2z + 2 = 0 \\ 2x + y - 3z = 3 \end{cases}, \qquad r_2: \dfrac{1-x}{2} = y = \dfrac{1-z}{2}$

a) Estudie la posición relativa de las rectas anteriores. [1 punto]

b) Halle la ecuación de la recta $s$ que tiene dirección perpendicular a ambas rectas y que pasa por $P\left(0, \frac{1}{2}, 0\right)$. Calcule el punto de corte de la recta $s$ con la recta $r_1$. [1,5 puntos]

$\textbf{a) Estudie la posición relativa de las rectas anteriores. [1 punto]}$

Se comparan primero los vectores directores —si fueran proporcionales las rectas serían paralelas o coincidentes— y, si no lo son, se estudia el producto mixto de los dos directores con el vector que une un punto de cada recta: si se anula, las rectas se cortan; si no, se cruzan.

$\vec v_{r_1}=\begin{vmatrix}\vec i & \vec j & \vec k\\ 1 & -3 & 2\\ 2 & 1 & -3\end{vmatrix}=(7,7,7)$

Dividiendo entre 7, $\vec v_{r_1}=(1,1,1)$. De $r_2$, escribiendo la forma continua con parámetro $\mu$:

$\dfrac{1-x}{2}=y=\dfrac{1-z}{2}=\mu\Rightarrow r_2:\begin{cases}x=1-2\mu\\ y=\mu\\ z=1-2\mu\end{cases}\Rightarrow P_2(1,0,1),\ \vec v_{r_2}=(-2,1,-2)$

Los directores no son proporcionales, pues $\dfrac{1}{-2}\neq\dfrac{1}{1}$, así que las rectas no son paralelas.

Buscamos un punto de $r_1$ haciendo $z=0$ en sus dos ecuaciones:

$\begin{cases}x-3y=-2\\ 2x+y=3\end{cases}\Rightarrow x=1,\ y=1\Rightarrow P_1(1,1,0)$

$\overrightarrow{P_1P_2}=(1,0,1)-(1,1,0)=(0,-1,1)$

$\begin{vmatrix}1 & 1 & 1\\ -2 & 1 & -2\\ 0 & -1 & 1\end{vmatrix}=1+0+2-0-2+2=3\neq 0$

El producto mixto no se anula, de modo que las rectas $r_1$ y $r_2$ se cruzan.

$\textbf{b) Halle la ecuación de la recta } \boldsymbol{s}\textbf{ que tiene dirección perpendicular a ambas rectas y que pasa por } \boldsymbol{P\left(0, \frac{1}{2}, 0\right)}\textbf{. Calcule el punto de corte de la recta } \boldsymbol{s}\textbf{ con la recta } \boldsymbol{r_1}\textbf{. [1,5 puntos]}$

Un vector perpendicular a los dos directores a la vez es su producto vectorial, así que ese es el vector director de $s$; con el punto que da el enunciado la recta queda determinada.

$\vec v_s=\vec v_{r_1}\times\vec v_{r_2}=\begin{vmatrix}\vec i & \vec j & \vec k\\ 1 & 1 & 1\\ -2 & 1 & -2\end{vmatrix}=(-3,0,3)$











Dividiendo entre $-3$, $\vec v_s=(1,0,-1)$.

$s:\begin{cases}x=t\\ y=\dfrac{1}{2}\\ z=-t\end{cases}\quad t\in\mathbb{R}$

Obsérvese que $P$ es un punto de $r_2$ —se obtiene con $\mu=\dfrac{1}{2}$—, de modo que $s$ es la perpendicular común a las dos rectas que se cruzan.





Para el punto de corte con $r_1$ escribimos esta recta en paramétricas y obligamos a que los dos puntos genéricos coincidan.

$r_1:\begin{cases}x=1+\lambda\\ y=1+\lambda\\ z=\lambda\end{cases}\quad \lambda\in\mathbb{R}$

La segunda coordenada da directamente el valor del parámetro:

$1+\lambda=\dfrac{1}{2}\Rightarrow \lambda=-\dfrac{1}{2}$

$\lambda=-\dfrac{1}{2}\Rightarrow \left(\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2},-\dfrac{1}{2}\right)$

Comprobamos que ese punto también es de $s$, con $t=\dfrac{1}{2}$, y que cumple las dos ecuaciones de $r_1$:

$\dfrac{1}{2}-3\cdot\dfrac{1}{2}+2\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right)+2=0;\qquad 2\cdot\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-3\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right)=3$

La recta pedida es la que pasa por $P$ con vector director $(1,0,-1)$, y corta a $r_1$ en el punto $\left(\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2},-\dfrac{1}{2}\right)$.