Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Tres amigos, Aythami, Besay y Chamaida, deciden hacer un fondo común con el dinero que tienen para merendar. La razón (o cociente) entre la suma y la diferencia de las cantidades de dinero que ponen Aythami y Besay es $11/5$. La diferencia entre las cantidades aportadas por Aythami y Chamaida es el doble de lo que ha puesto Besay. Además, el doble de la suma de las cantidades que ponen Besay y Chamaida excede en 2 euros a la que aporta Aythami. Halle la cantidad de dinero que aporta cada uno. [2,5 puntos]

Se trata de un problema que se resuelve planteando un sistema de ecuaciones lineales. Llamamos:

$x \equiv$ euros que aporta Aythami

$y \equiv$ euros que aporta Besay

$z \equiv$ euros que aporta Chamaida

Traducimos una a una las tres condiciones del enunciado. La primera dice que el cociente entre la suma y la diferencia de lo que ponen Aythami y Besay vale $\dfrac{11}{5}$; la segunda, que la diferencia entre lo de Aythami y lo de Chamaida es el doble de lo de Besay; la tercera, que el doble de la suma de Besay y Chamaida supera en 2 euros a lo de Aythami.

$\begin{cases}\dfrac{x+y}{x-y}=\dfrac{11}{5}\\ x-z=2y\\ 2(y+z)=x+2\end{cases}$

La primera ecuación no es lineal tal y como está escrita, pero se vuelve lineal multiplicando en cruz:

$5(x+y)=11(x-y)\Rightarrow 5x+5y=11x-11y\Rightarrow 16y=6x\Rightarrow 3x=8y$

$\begin{cases}3x-8y=0\\ x-2y-z=0\\ -x+2y+2z=2\end{cases}$

De la primera ecuación despejamos $y$ en función de $x$:

$y=\dfrac{3x}{8}$

y sustituyendo en la segunda obtenemos también $z$ en función de $x$:

$z=x-2y=x-\dfrac{3x}{4}=\dfrac{x}{4}$

Llevamos las dos expresiones a la tercera ecuación, que queda con una sola incógnita:

$2\left(\dfrac{3x}{8}+\dfrac{x}{4}\right)=x+2\Rightarrow 2\cdot\dfrac{5x}{8}=x+2\Rightarrow \dfrac{5x}{4}-x=2$

$\dfrac{x}{4}=2\Rightarrow x=8$

$y=\dfrac{3\cdot 8}{8}=3,\qquad z=\dfrac{8}{4}=2$

Comprobamos las tres condiciones del enunciado con los valores obtenidos:

$\dfrac{8+3}{8-3}=\dfrac{11}{5};\qquad 8-2=6=2\cdot 3;\qquad 2(3+2)=10=8+2$

Aythami aporta 8 €, Besay 3 € y Chamaida 2 € al fondo común de la merienda.