Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2024

El ayuntamiento ha decidido crear una base metálica para una estatua del reconocido físico canario Blas Cabrera. Dicha base metálica estará delimitada por las parábolas $y = x(3-x)$ e $y = x^2 - 7x + 8$, donde la unidad de medida es el metro. Represente un esbozo de la base metálica y calcule el presupuesto de su construcción si el precio del metro cuadrado del material para construir la base metálica es de 65 €. [2,5 puntos]

La base metálica es el recinto que las dos parábolas encierran entre sí, de modo que hay que estudiarlas por separado, hallar sus puntos de corte, dibujar la región y calcular su área con una integral definida. El presupuesto sale al multiplicar esa área por el precio del metro cuadrado.

La primera, $y=x(3-x)=3x-x^{2}$, tiene el coeficiente principal negativo, luego sus ramas van hacia abajo. Corta al eje de abscisas donde se anula cada factor:

$x(3-x)=0\Rightarrow \begin{cases}x=0\\ x=3\end{cases}$

$x_V=\dfrac{-3}{2\cdot(-1)}=\dfrac{3}{2}\Rightarrow V_1\left(\dfrac{3}{2},\dfrac{9}{4}\right)$

La segunda, $y=x^{2}-7x+8$, tiene el coeficiente principal positivo, luego sus ramas van hacia arriba.

$x^{2}-7x+8=0\Rightarrow x=\dfrac{7\pm\sqrt{49-32}}{2}=\dfrac{7\pm\sqrt{17}}{2}\approx\begin{cases}1{,}44\\ 5{,}56\end{cases}$

$x_V=\dfrac{7}{2}\Rightarrow V_2\left(\dfrac{7}{2},-\dfrac{17}{4}\right)$

Igualamos las dos ecuaciones para hallar los puntos de corte, que son los que delimitan la base:

$3x-x^{2}=x^{2}-7x+8\Rightarrow 2x^{2}-10x+8=0\Rightarrow x^{2}-5x+4=0$

$x=\dfrac{5\pm\sqrt{25-16}}{2}=\dfrac{5\pm 3}{2}\Rightarrow \begin{cases}x=1\\ x=4\end{cases}$

$x=1\Rightarrow y=2;\qquad x=4\Rightarrow y=-4$

Para saber cuál de las dos parábolas queda por encima dentro del recinto basta evaluarlas en un punto intermedio:

$\text{Si } x=2:\quad 2(3-2)=2>2^{2}-7\cdot 2+8=-2$



El área se obtiene integrando entre las abscisas de los puntos de corte la diferencia entre la función que va por arriba y la que va por abajo, y aplicando después la regla de Barrow.

$\mathcal{A}=\int_1^4\left[\left(3x-x^{2}\right)-\left(x^{2}-7x+8\right)\right]dx=\int_1^4\left(-2x^{2}+10x-8\right)dx$

$=\left[-\dfrac{2x^{3}}{3}+5x^{2}-8x\right]_1^4$

$=\left(-\dfrac{128}{3}+80-32\right)-\left(-\dfrac{2}{3}+5-8\right)=\dfrac{16}{3}-\left(-\dfrac{11}{3}\right)=\dfrac{27}{3}=9$

La base metálica ocupa una superficie de $9\ \text{m}^{2}$ y, a 65 € el metro cuadrado, el presupuesto de su construcción es:

$9\cdot 65=585$

El presupuesto de construcción de la base metálica de la estatua asciende a 585 €.