Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas II

Se considera la función:

$f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^2 - bx + 9}{x^2 + 3}, & x \le 0 \\[10pt] \dfrac{ax}{e^x - 1} + 2, & x > 0 \end{cases}$

a) Estudie los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que $f(x)$ sea continua y derivable en $x = 0$. [1,75 puntos]

b) Para los valores $a = 1$ y $b = -2$, halle la ecuación de la recta tangente a la función $f(x)$ en $x = -1$. [0,75 puntos]

$\textbf{a) Estudie los valores de los parámetros } \boldsymbol{a}\textbf{ y } \boldsymbol{b}\textbf{ para que } \boldsymbol{f(x)}\textbf{ sea continua y derivable en } \boldsymbol{x = 0}\textbf{. [1,75 puntos]}$

Primero se impone la continuidad, que determina $a$, y después la derivabilidad, que determina $b$. El orden importa: sin continuidad no hay derivabilidad posible.

Para la continuidad en $x=0$ hay que comparar el valor de la función con sus dos límites laterales.

$f(0)=\dfrac{0-0+9}{0+3}=\dfrac{9}{3}=3$

$\lim_{x\to 0^-}f(x)=\lim_{x\to 0^-}\dfrac{x^{2}-bx+9}{x^{2}+3}=3$

El límite por la derecha presenta una indeterminación del tipo $\frac{0}{0}$ en la fracción, que se resuelve por la regla de L'Hôpital.

$\lim_{x\to 0^+}\left(\dfrac{ax}{e^{x}-1}+2\right)=\lim_{x\to 0^+}\dfrac{ax}{e^{x}-1}+2\stackrel{\text{L'Hôpital}}{=}\lim_{x\to 0^+}\dfrac{a}{e^{x}}+2=a+2$

$a+2=3\Rightarrow a=1$

Para la derivabilidad se calculan las derivadas laterales y se obliga a que coincidan. Por la izquierda, derivando el cociente de polinomios:

$f'(x)=\dfrac{(2x-b)\left(x^{2}+3\right)-\left(x^{2}-bx+9\right)\cdot 2x}{\left(x^{2}+3\right)^{2}}$

$f'(0^-)=\dfrac{(-b)\cdot 3-9\cdot 0}{3^{2}}=\dfrac{-3b}{9}=-\dfrac{b}{3}$

Por la derecha, ya con $a=1$:

$f'(x)=\dfrac{\left(e^{x}-1\right)-x\,e^{x}}{\left(e^{x}-1\right)^{2}}$

De nuevo aparece una indeterminación $\frac{0}{0}$ al hacer tender $x$ a cero, y hay que aplicar L'Hôpital dos veces.

$f'(0^+)=\lim_{x\to 0^+}\dfrac{e^{x}-1-x\,e^{x}}{\left(e^{x}-1\right)^{2}}\stackrel{\text{L'Hôpital}}{=}\lim_{x\to 0^+}\dfrac{-x\,e^{x}}{2\,e^{x}\left(e^{x}-1\right)}=\lim_{x\to 0^+}\dfrac{-x}{2\left(e^{x}-1\right)}$

$\stackrel{\text{L'Hôpital}}{=}\lim_{x\to 0^+}\dfrac{-1}{2\,e^{x}}=-\dfrac{1}{2}$

$-\dfrac{b}{3}=-\dfrac{1}{2}\Rightarrow b=\dfrac{3}{2}$

Para que la función sea continua y derivable en $x=0$ los parámetros deben valer $a=1$ y $b=\dfrac{3}{2}$.

$\textbf{b) Para los valores } \boldsymbol{a = 1}\textbf{ y } \boldsymbol{b = -2}\textbf{, halle la ecuación de la recta tangente a la función } \boldsymbol{f(x)}\textbf{ en } \boldsymbol{x = -1}\textbf{. [0,75 puntos]}$

La abscisa $x=-1$ es negativa, de modo que solo interviene la primera rama de la función y el valor de $a$ no influye en el resultado.

$f(x)=\dfrac{x^{2}+2x+9}{x^{2}+3}$

La recta tangente en un punto es $y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)$, así que hacen falta el valor de la función y el de su derivada en $x_0=-1$.

$f(-1)=\dfrac{1-2+9}{1+3}=\dfrac{8}{4}=2$

$f'(x)=\dfrac{(2x+2)\left(x^{2}+3\right)-\left(x^{2}+2x+9\right)\cdot 2x}{\left(x^{2}+3\right)^{2}}$

$f'(-1)=\dfrac{0\cdot 4-8\cdot(-2)}{4^{2}}=\dfrac{16}{16}=1$

$y-2=1\cdot\left(x-(-1)\right)\Rightarrow y=x+3$

La recta tangente a la gráfica de $f$ en el punto de abscisa $x=-1$ es $y=x+3$.