Ejercicio resuelto de Distribución binomial · Matemáticas II

Un juego de ruleta tiene 25 casillas numeradas del 1 al 25. Un jugador gana si sale un número par.

a) Si juega 100 veces, calcule la probabilidad de que gane en más de la mitad de las ocasiones. [1,25 puntos]

b) Si juega 200 veces, un jugador afirma que la probabilidad de ganar entre 90 y 110 veces es menor que $3/4$. Justifique si esta afirmación es cierta o no. [1,25 puntos]

En cada jugada de la ruleta hay 25 resultados igualmente probables y son favorables los números pares del 1 al 25, que son 12: el 2, el 4, …, el 24. Por tanto, la probabilidad de ganar una jugada es

$p=\dfrac{12}{25}=0{,}48,\qquad q=1-p=0{,}52$

Como las jugadas son independientes y en todas se repite la misma probabilidad, el número de partidas ganadas sigue una distribución binomial. En los dos apartados $n$ es grande y se cumplen $np>5$ y $nq>5$, así que la binomial se aproxima por una normal de igual media y desviación típica, aplicando la corrección por continuidad al pasar de la variable discreta a la continua.

$\textbf{a) Si juega 100 veces, calcule la probabilidad de que gane en más de la mitad de las ocasiones. [1,25 puntos]}$

$X\sim B(100;\,0{,}48)$

$\mu=np=100\cdot 0{,}48=48$

$\sigma=\sqrt{npq}=\sqrt{100\cdot 0{,}48\cdot 0{,}52}=\sqrt{24{,}96}\approx 5$

$X'\sim N(48;\,5)$

Ganar en más de la mitad de las 100 ocasiones significa ganar 51 partidas o más.

$P(X\ge 51)\approx P(X'>50{,}5)=P\left(Z>\dfrac{50{,}5-48}{5}\right)=P(Z>0{,}50)$

$=1-\Phi(0{,}50)=1-0{,}6915=0{,}3085$



La probabilidad de ganar en más de la mitad de las 100 jugadas es $0{,}3085$, es decir, un $30{,}85\ \%$.

$\textbf{b) Si juega 200 veces, un jugador afirma que la probabilidad de ganar entre 90 y 110 veces es menor que } \boldsymbol{3/4}\textbf{. Justifique si esta afirmación es cierta o no. [1,25 puntos]}$

$X\sim B(200;\,0{,}48)$

$\mu=200\cdot 0{,}48=96$

$\sigma=\sqrt{200\cdot 0{,}48\cdot 0{,}52}=\sqrt{49{,}92}\approx 7{,}07$

$X'\sim N(96;\,7{,}07)$

$P(90\le X\le 110)\approx P(89{,}5<X'<110{,}5)$

$=P\left(\dfrac{89{,}5-96}{7{,}07}<Z<\dfrac{110{,}5-96}{7{,}07}\right)=P(-0{,}92<Z<2{,}05)$

$=\Phi(2{,}05)-\left[1-\Phi(0{,}92)\right]=0{,}9798-(1-0{,}8212)$

$=0{,}9798-0{,}1788=0{,}8010$



La probabilidad de ganar entre 90 y 110 de las 200 jugadas es $0{,}8010$, y $\dfrac{3}{4}=0{,}75$. Como $0{,}8010>0{,}75$, la afirmación del jugador no es cierta.