Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2024

En el espacio tridimensional tenemos el punto, la recta y el plano siguientes:

$P(-7,3,4), \qquad r: \begin{cases} x + y - 1 = 0 \\ x + z + 1 = 0 \end{cases}, \qquad \pi: x + 2y - 5z + 5 = 0$

a) Encuentre el punto $A$ intersección del plano $\pi$ con una recta $s$. Esta recta $s$ es una recta paralela a la recta $r$ y que pasa por el punto $P$. [1,5 puntos]

b) Halle el ángulo que forma la recta $r$ y el plano $\pi$. [1 punto]

$\textbf{a) Encuentre el punto } \boldsymbol{A}\textbf{ intersección del plano } \boldsymbol{\pi}\textbf{ con una recta } \boldsymbol{s}\textbf{. Esta recta } \boldsymbol{s}\textbf{ es una recta paralela a la recta } \boldsymbol{r}\textbf{ y que pasa por el punto } \boldsymbol{P}\textbf{. [1,5 puntos]}$

La recta $s$ queda determinada por dos datos: pasa por $P$ y, al ser paralela a $r$, tiene su mismo vector director. Como $r$ viene dada como intersección de dos planos, ese vector es el producto vectorial de las dos normales.

$\vec v_r=\begin{vmatrix}\vec i & \vec j & \vec k\\ 1 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 1\end{vmatrix}=(1,-1,-1)$











$s:\begin{cases}x=-7+t\\ y=3-t\\ z=4-t\end{cases}\quad t\in\mathbb{R}$

Obligamos al punto genérico de $s$ a cumplir la ecuación del plano:

$(-7+t)+2(3-t)-5(4-t)+5$

$=-7+t+6-2t-20+5t+5=4t-16$

$4t-16=0\Rightarrow t=4$





Sustituyendo $t=4$ en las paramétricas de $s$ se obtiene el punto pedido, y se comprueba que efectivamente está en el plano:

$A(-3,-1,0)$

$-3+2\cdot(-1)-5\cdot 0+5=-3-2+5=0$

La recta $s$ corta al plano $\pi$ en el punto $A(-3,-1,0)$.

$\textbf{b) Halle el ángulo que forma la recta } \boldsymbol{r}\textbf{ y el plano } \boldsymbol{\pi}\textbf{. [1 punto]}$

El ángulo entre una recta y un plano es el complementario del que forman el vector director de la recta y el vector normal del plano, de modo que el producto escalar de esos dos vectores proporciona directamente su seno.

$\vec v_r=(1,-1,-1),\qquad \vec n_{\pi}=(1,2,-5)$

$\operatorname{sen}\alpha=\dfrac{\left|\vec v_r\cdot\vec n_{\pi}\right|}{\left|\vec v_r\right|\left|\vec n_{\pi}\right|}=\dfrac{|1-2+5|}{\sqrt{1+1+1}\cdot\sqrt{1+4+25}}=\dfrac{4}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{30}}$

$=\dfrac{4}{\sqrt{90}}=\dfrac{2\sqrt{10}}{15}\approx 0{,}4216$

$\alpha=\operatorname{arcsen}(0{,}4216)\approx 24^{\circ}\,56'\,17''$

La recta $r$ y el plano $\pi$ forman un ángulo de, aproximadamente, $24^{\circ}\,56'$.