Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Dado el siguiente sistema de ecuaciones lineales con un parámetro $k \in \mathbb{R}$:

$\left.\begin{array}{r} kx + y - 3z = 5 \\ -x + y + z = -4 \\ kx + y - kz = 1 \end{array}\right\}$

a) Discuta la resolución del sistema según los valores del parámetro $k$. [1,25 puntos]

b) Resuelva el sistema cuando $k = 4$. [1,25 puntos]

$\textbf{a) Discuta la resolución del sistema según los valores del parámetro } \boldsymbol{k}\textbf{. [1,25 puntos]}$

Aplicamos el teorema de Rouché-Frobenius, comparando el rango de la matriz de coeficientes con el de la ampliada y con el número de incógnitas.

$A=\begin{pmatrix}k & 1 & -3\\ -1 & 1 & 1\\ k & 1 & -k\end{pmatrix},\qquad A^{*}=\left(\begin{array}{ccc|c}k & 1 & -3 & 5\\ -1 & 1 & 1 & -4\\ k & 1 & -k & 1\end{array}\right)$

Empezamos por el determinante de la matriz de coeficientes, desarrollado por la regla de Sarrus.

$|A|=-k^{2}+k+3-\left(-3k+k+k\right)=-k^{2}+2k+3=-(k-3)(k+1)$

$|A|=0\Rightarrow \begin{cases}k=3\\ k=-1\end{cases}$

Si $k\neq 3$ y $k\neq -1$, entonces $|A|\neq 0$, con lo que $\operatorname{ran}(A)=3$ y, como la ampliada no puede tener rango mayor que 3, también $\operatorname{ran}(A^{*})=3$. Luego

$\operatorname{ran}(A)=\operatorname{ran}(A^{*})=3=\text{nº de incógnitas}$

y el sistema es compatible determinado.

Si $k=3$:

$A^{*}=\left(\begin{array}{ccc|c}3 & 1 & -3 & 5\\ -1 & 1 & 1 & -4\\ 3 & 1 & -3 & 1\end{array}\right)$

La primera y la tercera fila tienen los mismos coeficientes y distinto término independiente, lo que ya anticipa que el sistema no puede tener solución. Lo confirmamos con los rangos:

$\begin{vmatrix}3 & 1\\ -1 & 1\end{vmatrix}=3+1=4\neq 0\Rightarrow \operatorname{ran}(A)=2$

$\begin{vmatrix}3 & 1 & 5\\ -1 & 1 & -4\\ 3 & 1 & 1\end{vmatrix}=-16\neq 0\Rightarrow \operatorname{ran}(A^{*})=3$

$\operatorname{ran}(A)=2\neq 3=\operatorname{ran}(A^{*})\Rightarrow \text{sistema incompatible}$

Si $k=-1$:

$A^{*}=\left(\begin{array}{ccc|c}-1 & 1 & -3 & 5\\ -1 & 1 & 1 & -4\\ -1 & 1 & 1 & 1\end{array}\right)$

Ahora son la segunda y la tercera filas las que repiten coeficientes con distinto término independiente.

$\begin{vmatrix}-1 & -3\\ -1 & 1\end{vmatrix}=-1-3=-4\neq 0\Rightarrow \operatorname{ran}(A)=2$

$\begin{vmatrix}-1 & -3 & 5\\ -1 & 1 & -4\\ -1 & 1 & 1\end{vmatrix}=-20\neq 0\Rightarrow \operatorname{ran}(A^{*})=3$

$\operatorname{ran}(A)=2\neq 3=\operatorname{ran}(A^{*})\Rightarrow \text{sistema incompatible}$

Finalmente, el sistema es compatible determinado —con solución única— para cualquier $k$ distinto de 3 y de $-1$, y es incompatible para esos dos valores.

$\textbf{b) Resuelva el sistema cuando } \boldsymbol{k = 4}\textbf{. [1,25 puntos]}$

Como $4\neq 3$ y $4\neq -1$, por el apartado anterior el sistema es compatible determinado y tiene una única solución.

$\begin{cases}4x+y-3z=5\\ -x+y+z=-4\\ 4x+y-4z=1\end{cases}$

Restando la tercera ecuación de la primera desaparecen a la vez $x$ e $y$, y queda despejada la tercera incógnita.

$(4x+y-3z)-(4x+y-4z)=5-1\Rightarrow z=4$

Sustituyendo $z=4$ en la primera y en la segunda ecuación:

$\begin{cases}4x+y=17\\ -x+y=-8\end{cases}$

$(4x+y)-(-x+y)=17-(-8)\Rightarrow 5x=25\Rightarrow x=5$

$y=-8+x=-8+5=-3$

Comprobamos la solución en la segunda ecuación del sistema original:

$-5+(-3)+4=-4$

Para $k=4$ la solución del sistema es $x=5$, $y=-3$, $z=4$.