Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · 2024

Dada la función definida por $f(x) = \dfrac{\ln(x+2) + a}{3x+4}$:

a) Determine el valor de $a$ sabiendo que la pendiente de la recta tangente a la gráfica de $f$ en el punto de abscisa $x = -1$ es 10. Dé la expresión de la función. [1,25 puntos]

b) Para el valor $a = 0$, estudie el dominio y las asíntotas de la función $f(x)$. [1,25 puntos]

$\textbf{a) Determine el valor de } \boldsymbol{a}\textbf{ sabiendo que la pendiente de la recta tangente a la gráfica de } \boldsymbol{f}\textbf{ en el punto de abscisa } \boldsymbol{x = -1}\textbf{ es 10. Dé la expresión de la función. [1,25 puntos]}$

La pendiente de la recta tangente en un punto es el valor de la derivada en ese punto, así que la condición del enunciado se traduce en $f'(-1)=10$. Derivamos con la regla del cociente dejando $a$ como parámetro.

$f'(x)=\dfrac{\dfrac{1}{x+2}\,(3x+4)-3\left(\ln(x+2)+a\right)}{(3x+4)^{2}}$

Particularizamos en $x=-1$, donde $x+2=1$, $3x+4=1$ y $\ln 1=0$, con lo que la expresión se simplifica mucho.

$f'(-1)=\dfrac{1\cdot 1-3\,(0+a)}{1^{2}}=1-3a$

$1-3a=10\Rightarrow -3a=9\Rightarrow a=-3$

El parámetro vale $a=-3$ y la función es $f(x)=\dfrac{\ln(x+2)-3}{3x+4}$.

$\textbf{b) Para el valor } \boldsymbol{a = 0}\textbf{, estudie el dominio y las asíntotas de la función } \boldsymbol{f(x)}\textbf{. [1,25 puntos]}$

$f(x)=\dfrac{\ln(x+2)}{3x+4}$

Al dominio le imponen condiciones dos cosas: el logaritmo, que exige argumento positivo, y el denominador, que no puede anularse.

$\begin{cases}\ln(x+2)\Rightarrow x+2>0\Rightarrow x>-2\\ 3x+4\neq 0\Rightarrow x\neq -\dfrac{4}{3}\end{cases}\Rightarrow \operatorname{Dom}f(x)=\left(-2,-\dfrac{4}{3}\right)\cup\left(-\dfrac{4}{3},+\infty\right)$

Asíntotas verticales. Las candidatas son los dos puntos que quedan fuera del dominio, $x=-2$ y $x=-\dfrac{4}{3}$; solo se estudian por el lado en el que la función existe.

$\lim_{x\to -2^{+}}\dfrac{\ln(x+2)}{3x+4}=\dfrac{-\infty}{-2}=+\infty\Rightarrow x=-2\ \text{es asíntota vertical}$

En $x=-\dfrac{4}{3}$ el numerador no se anula, pues $\ln\left(-\dfrac{4}{3}+2\right)=\ln\dfrac{2}{3}\approx -0{,}4055$, mientras que el denominador tiende a cero cambiando de signo.

$\lim_{x\to -\frac{4}{3}^{-}}\dfrac{\ln(x+2)}{3x+4}=\dfrac{-0{,}4055}{0^{-}}=+\infty$

$\lim_{x\to -\frac{4}{3}^{+}}\dfrac{\ln(x+2)}{3x+4}=\dfrac{-0{,}4055}{0^{+}}=-\infty$

$\Rightarrow x=-\dfrac{4}{3}\ \text{es asíntota vertical}$

Asíntota horizontal. El dominio no llega a $-\infty$, así que solo hay un límite que calcular.

$\lim_{x\to +\infty}\dfrac{\ln(x+2)}{3x+4}=0$

porque el polinomio del denominador es un infinito de orden superior al logaritmo del numerador. Luego $y=0$ es asíntota horizontal, y al haberla no puede haber asíntota oblicua.

El dominio de $f(x)$ es $\left(-2,-\dfrac{4}{3}\right)\cup\left(-\dfrac{4}{3},+\infty\right)$, tiene dos asíntotas verticales, $x=-2$ y $x=-\dfrac{4}{3}$, y una asíntota horizontal, $y=0$.