Ejercicio resuelto de Distribución binomial · Matemáticas II

El Instituto Canario de Estadística (ISTAC) se ha encargado de realizar un estudio multidisciplinar para optimizar la planificación de plazas en residencias universitarias de estudiantes de nuevo ingreso en las dos universidades públicas canarias (ULL y ULPGC).

Para ello, se ha llevado a cabo una encuesta a 1800 estudiantes de nuevo ingreso que provienen de islas no capitalinas, de los que el 27 % de estos estudiantes solicitan plaza en una residencia universitaria.

a) Compruebe si hay más de un 90 % de posibilidades de recibir entre 460 y 510 solicitudes de plaza en una residencia de estudiantes de nuevo ingreso que provienen de islas diferentes a Tenerife y Gran Canaria. [1,75 puntos]

b) A partir de 525 solicitudes de alojamiento de estos estudiantes, las universidades deberían acometer la construcción de nuevas residencias universitarias. ¿Qué probabilidad hay de que deban adoptar esta medida? [0,75 puntos]

Llamamos $X$ al número de estudiantes, de los 1800 encuestados, que solicitan plaza en una residencia universitaria. Cada estudiante la solicita o no la solicita, con la misma probabilidad y con independencia de los demás, de modo que:

$X\sim B(n,p)=B(1800;\,0{,}27)$

Como $n$ es muy grande y se cumple $np=486>5$ y $nq=1314>5$, la binomial se aproxima por una normal de la misma media y la misma desviación típica.

$\mu=np=1800\cdot 0{,}27=486$

$\sigma=\sqrt{npq}=\sqrt{1800\cdot 0{,}27\cdot 0{,}73}=\sqrt{354{,}78}\approx 18{,}84$

$X'\sim N(486;\,18{,}84)$

Al pasar de una variable discreta a una continua hay que aplicar la corrección por continuidad, ensanchando el intervalo media unidad por cada lado.

$\textbf{a) Compruebe si hay más de un 90 \% de posibilidades de recibir entre 460 y 510 solicitudes de plaza en una residencia de estudiantes de nuevo ingreso que provienen de islas diferentes a Tenerife y Gran Canaria. [1,75 puntos]}$

$P(460\le X\le 510)\approx P(459{,}5<X'<510{,}5)$

$=P\left(\dfrac{459{,}5-486}{18{,}84}<Z<\dfrac{510{,}5-486}{18{,}84}\right)=P(-1{,}41<Z<1{,}30)$

$=\Phi(1{,}30)-\left[1-\Phi(1{,}41)\right]=0{,}9032-(1-0{,}9207)$

$=0{,}9032-0{,}0793=0{,}8239$



La probabilidad de recibir entre 460 y 510 solicitudes es $0{,}8239$, es decir, un $82{,}39\ \%$. No llega al $90\ \%$, así que la respuesta es negativa.

$\textbf{b) A partir de 525 solicitudes de alojamiento de estos estudiantes, las universidades deberían acometer la construcción de nuevas residencias universitarias. ¿Qué probabilidad hay de que deban adoptar esta medida? [0,75 puntos]}$

Que haya que construir nuevas residencias equivale a que se reciban 525 solicitudes o más, así que se calcula la cola derecha a partir de ese valor, de nuevo con la corrección por continuidad.

$P(X\ge 525)\approx P(X'>524{,}5)=P\left(Z>\dfrac{524{,}5-486}{18{,}84}\right)=P(Z>2{,}04)$

$=1-\Phi(2{,}04)=1-0{,}9793=0{,}0207$



La probabilidad de que las universidades tengan que acometer la construcción de nuevas residencias es $0{,}0207$, esto es, un $2{,}07\ \%$: un escenario poco probable con los datos de la encuesta.