Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2025

En el espacio tridimensional, se tienen las siguientes rectas:

$r: \begin{cases} x + y - 2z = 3 \\ 2x + y - 6z = 2 \end{cases} \qquad s: x - 1 = \dfrac{y}{3} = \dfrac{z+1}{2}$

a) Compruebe que $r$ y $s$ son coplanarias. [1,5 puntos]

b) Halle la ecuación del plano que las contiene. [1 punto]

$\textbf{a) Compruebe que } \boldsymbol{r}\textbf{ y } \boldsymbol{s}\textbf{ son coplanarias. [1,5 puntos]}$

Dos rectas son coplanarias cuando no se cruzan, y eso ocurre exactamente cuando el vector que une un punto de cada una es combinación lineal de los dos vectores directores. En términos de determinantes, cuando el producto mixto de los tres vectores se anula.

Empezamos obteniendo de cada recta un punto y un vector director. De $r$, dada en implícitas, el vector director es el producto vectorial de las dos normales.

$\vec v_r=\begin{vmatrix}\vec i & \vec j & \vec k\\ 1 & 1 & -2\\ 2 & 1 & -6\end{vmatrix}=(-4,2,-1)$

Para un punto de $r$ hacemos $z=0$ en sus dos ecuaciones:

$\begin{cases}x+y=3\\ 2x+y=2\end{cases}\Rightarrow x=-1,\ y=4\Rightarrow P_r(-1,4,0)$

De $s$, escrita en forma continua, se leen directamente:

$P_s(1,0,-1),\qquad \vec v_s=(1,3,2)$

$\overrightarrow{P_rP_s}=(1,0,-1)-(-1,4,0)=(2,-4,-1)$

$\begin{vmatrix}-4 & 2 & -1\\ 1 & 3 & 2\\ 2 & -4 & -1\end{vmatrix}=12+8+4-(-6)-32-(-2)=0$

El producto mixto se anula, luego los tres vectores son coplanarios y las rectas están en un mismo plano. Además $\vec v_r$ y $\vec v_s$ no son proporcionales —basta ver que $\dfrac{-4}{1}\neq\dfrac{2}{3}$—, así que $r$ y $s$ no son paralelas: son dos rectas secantes.

$\textbf{b) Halle la ecuación del plano que las contiene. [1 punto]}$

Como las dos rectas son coplanarias y no paralelas, hay un único plano que las contiene. Queda determinado por un punto de cualquiera de ellas y por los dos vectores directores, cuyo producto vectorial da el vector normal.

$\vec n=\vec v_r\times\vec v_s=\begin{vmatrix}\vec i & \vec j & \vec k\\ -4 & 2 & -1\\ 1 & 3 & 2\end{vmatrix}=(7,7,-14)$

Dividiendo entre 7, $\vec n=(1,1,-2)$, con lo que el plano tiene la forma:

$\pi:x+y-2z+D=0$

$P_r(-1,4,0)\in\pi\Rightarrow -1+4-0+D=0\Rightarrow D=-3$



Comprobamos que también contiene a $s$ sustituyendo su punto:

$P_s(1,0,-1):\quad 1+0-2\cdot(-1)-3=1+2-3=0$

El plano que contiene a las dos rectas es $\pi:x+y-2z-3=0$.