Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2025

En el espacio tridimensional, se considera la recta y el plano siguientes:

$r: \begin{cases} x + y + z = 0 \\ 2x - y + z = 10 \end{cases} \qquad \pi: x - y + 2z - 5 = 0$

a) Compruebe que el plano $\pi$ y la recta $r$ se cortan. Dé la ecuación de la recta $s$, contenida en el plano $\pi$, que corta perpendicularmente a $r$. [1,5 puntos]

b) Halle el ángulo que forman la recta $r$ y el plano $\pi$. [1 punto]

$\textbf{a) Compruebe que el plano } \boldsymbol{\pi}\textbf{ y la recta } \boldsymbol{r}\textbf{ se cortan. Dé la ecuación de la recta } \boldsymbol{s}\textbf{, contenida en el plano } \boldsymbol{\pi}\textbf{, que corta perpendicularmente a } \boldsymbol{r}\textbf{. [1,5 puntos]}$

Una recta y un plano se cortan en un punto cuando el vector director de la recta no es perpendicular al vector normal del plano. Como $r$ viene dada como intersección de dos planos, su vector director es el producto vectorial de las dos normales.

$\vec v_r=\begin{vmatrix}\vec i & \vec j & \vec k\\ 1 & 1 & 1\\ 2 & -1 & 1\end{vmatrix}=(2,1,-3),\qquad \vec n_{\pi}=(1,-1,2)$

$\vec v_r\cdot\vec n_{\pi}=2-1-6=-5\neq 0$

Luego $r$ y $\pi$ son secantes. Buscamos su punto de corte escribiendo antes la recta en paramétricas: restando las dos ecuaciones de $r$ se obtiene $x-2y=10$, de donde $x=10+2y$, y de la primera $z=-x-y=-10-3y$.

$r:\begin{cases}x=10+2\lambda\\ y=\lambda\\ z=-10-3\lambda\end{cases}\quad \lambda\in\mathbb{R}$

$(10+2\lambda)-\lambda+2(-10-3\lambda)-5=-5\lambda-15$

$-5\lambda-15=0\Rightarrow \lambda=-3\Rightarrow I(4,-3,-1)$











La recta $s$ que se pide pasa por $I$, porque debe cortar a $r$ y estar en $\pi$, y su dirección ha de ser a la vez perpendicular a $\vec v_r$ y perpendicular a $\vec n_{\pi}$ —esto último es lo que garantiza que $s$ vaya por dentro del plano—. Un vector con las dos condiciones a la vez es el producto vectorial de ambos.

$\vec v_s=\vec n_{\pi}\times\vec v_r=\begin{vmatrix}\vec i & \vec j & \vec k\\ 1 & -1 & 2\\ 2 & 1 & -3\end{vmatrix}=(1,7,3)$





Comprobamos las dos perpendicularidades:

$\vec v_s\cdot\vec v_r=2+7-9=0,\qquad \vec v_s\cdot\vec n_{\pi}=1-7+6=0$

$s:\begin{cases}x=4+\mu\\ y=-3+7\mu\\ z=-1+3\mu\end{cases}\quad \mu\in\mathbb{R}$

La recta $r$ corta al plano $\pi$ en el punto $I(4,-3,-1)$, y la recta pedida es la que pasa por ese punto con vector director $\vec v_s=(1,7,3)$.

$\textbf{b) Halle el ángulo que forman la recta } \boldsymbol{r}\textbf{ y el plano } \boldsymbol{\pi}\textbf{. [1 punto]}$

El ángulo entre una recta y un plano es el complementario del que forman el vector director de la recta y el vector normal del plano, de modo que lo que se obtiene directamente con el producto escalar es su seno.

$\operatorname{sen}\alpha=\dfrac{\left|\vec v_r\cdot\vec n_{\pi}\right|}{\left|\vec v_r\right|\left|\vec n_{\pi}\right|}=\dfrac{|-5|}{\sqrt{4+1+9}\cdot\sqrt{1+1+4}}=\dfrac{5}{\sqrt{14}\cdot\sqrt{6}}$

$=\dfrac{5}{\sqrt{84}}=\dfrac{5\sqrt{21}}{42}\approx 0{,}5455$

$\alpha=\operatorname{arcsen}(0{,}5455)\approx 33^{\circ}\,3'\,43''$

La recta $r$ y el plano $\pi$ forman un ángulo de, aproximadamente, $33^{\circ}\,4'$.