Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2025

En el espacio tridimensional se consideran los siguientes elementos geométricos:

$A(1,0,2); \qquad \pi: -x + 2y + z + 1 = 0; \qquad r: \begin{cases} 4x - 7y + 2z = 7 \\ y - 2z + 5 = 0 \end{cases}$

a) Halle la posición relativa del plano $\pi$ y la recta $r$. [1 punto]

b) Halle el punto simétrico de $A$ con respecto del plano $\pi$. [1,5 puntos]

$\textbf{a) Halle la posición relativa del plano } \boldsymbol{\pi}\textbf{ y la recta } \boldsymbol{r}\textbf{. [1 punto]}$

Para conocer la posición relativa de una recta y un plano basta comparar el vector director de la recta con el vector normal del plano: si su producto escalar no se anula, la recta corta al plano en un único punto. Como $r$ viene dada como intersección de dos planos, su vector director es el producto vectorial de las dos normales.

$\vec v_r=\begin{vmatrix}\vec i & \vec j & \vec k\\ 4 & -7 & 2\\ 0 & 1 & -2\end{vmatrix}=(12,8,4)$

Dividiendo entre 4, $\vec v_r=(3,2,1)$, y del plano $\vec n_{\pi}=(-1,2,1)$.

$\vec v_r\cdot\vec n_{\pi}=3\cdot(-1)+2\cdot 2+1\cdot 1=-3+4+1=2\neq 0$

La recta no es perpendicular al vector normal, luego ni es paralela al plano ni está contenida en él: $r$ y $\pi$ son secantes. Calculamos el punto de corte. De la segunda ecuación de $r$ se despeja $y=2z-5$ y, llevándola a la primera, $4x-7(2z-5)+2z=7$, es decir, $4x-12z=-28$ y $x=3z-7$.

$r:\begin{cases}x=-7+3\lambda\\ y=-5+2\lambda\\ z=\lambda\end{cases}\quad \lambda\in\mathbb{R}$

$-(-7+3\lambda)+2(-5+2\lambda)+\lambda+1=7-3\lambda-10+4\lambda+\lambda+1=2\lambda-2$

$2\lambda-2=0\Rightarrow \lambda=1$

La recta $r$ y el plano $\pi$ son secantes y se cortan en el punto $(-4,-3,1)$.

$\textbf{b) Halle el punto simétrico de } \boldsymbol{A}\textbf{ con respecto del plano } \boldsymbol{\pi}\textbf{. [1,5 puntos]}$

El procedimiento tiene tres fases.











i) Construimos una recta $s$ que, pasando por $A$, sea perpendicular a $\pi$; su vector director es el normal del plano.

$s:\begin{cases}x=1-\mu\\ y=2\mu\\ z=2+\mu\end{cases}\quad \mu\in\mathbb{R}$

Punto $\to A(1,0,2)$

Vector director $\to \vec v_s=\vec n_{\pi}=(-1,2,1)$





ii) Calculamos $R$, el pie de la perpendicular, como intersección de $s$ con $\pi$:

$-(1-\mu)+2\cdot 2\mu+(2+\mu)+1=-1+\mu+4\mu+2+\mu+1=6\mu+2$

$6\mu+2=0\Rightarrow \mu=-\dfrac{1}{3}$

$R\left(\dfrac{4}{3},-\dfrac{2}{3},\dfrac{5}{3}\right)$

iii) Basta razonar que $R$ es el punto medio del segmento $\overline{AA'}$. Así:

$R=\left(\dfrac{1+A'_x}{2},\dfrac{0+A'_y}{2},\dfrac{2+A'_z}{2}\right)$

$\begin{cases}\dfrac{4}{3}=\dfrac{1+A'_x}{2}\Rightarrow A'_x=\dfrac{5}{3}\\ -\dfrac{2}{3}=\dfrac{A'_y}{2}\Rightarrow A'_y=-\dfrac{4}{3}\\ \dfrac{5}{3}=\dfrac{2+A'_z}{2}\Rightarrow A'_z=\dfrac{4}{3}\end{cases}$

El simétrico de $A$ respecto del plano $\pi$ es el punto $A'\left(\dfrac{5}{3},-\dfrac{4}{3},\dfrac{4}{3}\right)$.