Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2025

En el espacio tridimensional, dados el punto $P$ y las rectas $r_1$ y $r_2$ siguientes:

$P(2,-1,1); \qquad r_1: \begin{cases} 4x + 3y - 3z = 2 \\ 2x - 3y - 6z = 1 \end{cases}; \qquad r_2: \dfrac{x+3}{2} = 2 - y = \dfrac{z+4}{3}$

a) Compruebe que $P \in r_1$ y que $P \notin r_2$. [0,25 puntos]

b) Halle la distancia entre el punto $P$ y el punto de intersección de las rectas $r_1$ y $r_2$. [1 punto]

c) Halle el ángulo con el que se cortan las rectas $r_1$ y $r_2$. [1,25 puntos]

$\textbf{a) Compruebe que } \boldsymbol{P \in r_1}\textbf{ y que } \boldsymbol{P \notin r_2}\textbf{. [0,25 puntos]}$

Un punto pertenece a una recta dada en forma implícita si satisface sus dos ecuaciones, y pertenece a una recta dada en forma continua si sus coordenadas producen el mismo valor en los tres cocientes.

$4\cdot 2+3\cdot(-1)-3\cdot 1=8-3-3=2$

$2\cdot 2-3\cdot(-1)-6\cdot 1=4+3-6=1$

Se cumplen las dos ecuaciones de $r_1$, luego $P\in r_1$.

$\dfrac{2+3}{2}=\dfrac{5}{2};\qquad 2-(-1)=3;\qquad \dfrac{1+4}{3}=\dfrac{5}{3}$

Los tres valores son distintos, luego $P\notin r_2$.

$\textbf{b) Halle la distancia entre el punto } \boldsymbol{P}\textbf{ y el punto de intersección de las rectas } \boldsymbol{r_1}\textbf{ y } \boldsymbol{r_2}\textbf{. [1 punto]}$

Escribimos $r_2$ en paramétricas y obligamos a su punto genérico a cumplir las dos ecuaciones de $r_1$: el valor del parámetro que las satisfaga da el punto de corte.

$\dfrac{x+3}{2}=2-y=\dfrac{z+4}{3}=t\Rightarrow r_2:\begin{cases}x=-3+2t\\ y=2-t\\ z=-4+3t\end{cases}\quad t\in\mathbb{R}$

Sustituimos en la primera ecuación de $r_1$:

$4(-3+2t)+3(2-t)-3(-4+3t)=-12+8t+6-3t+12-9t=6-4t$

$6-4t=2\Rightarrow t=1$

Comprobamos que ese mismo valor cumple también la segunda ecuación:

$2(-3+2t)-3(2-t)-6(-4+3t)=-6+4t-6+3t+24-18t=12-11t$

$12-11\cdot 1=1$

Se cumple, de modo que las rectas se cortan y el punto de corte se obtiene sustituyendo $t=1$ en las paramétricas de $r_2$.

$Q(-1,1,-1)$

$d(P,Q)=\sqrt{(-1-2)^2+(1-(-1))^2+(-1-1)^2}=\sqrt{9+4+4}=\sqrt{17}\approx 4{,}1231\ \text{u}$

La distancia entre $P$ y el punto de intersección de las dos rectas es $\sqrt{17}$ unidades de longitud.

$\textbf{c) Halle el ángulo con el que se cortan las rectas } \boldsymbol{r_1}\textbf{ y } \boldsymbol{r_2}\textbf{. [1,25 puntos]}$

El ángulo que forman dos rectas secantes es el que forman sus vectores directores, tomado siempre agudo; por eso en el coseno aparece el valor absoluto del producto escalar. De $r_1$, dada como intersección de dos planos, el vector director es el producto vectorial de las dos normales.

$\vec v_{r_1}=\vec n_1\times\vec n_2=\begin{vmatrix}\vec i & \vec j & \vec k\\ 4 & 3 & -3\\ 2 & -3 & -6\end{vmatrix}=(-27,18,-18)$

Como de un vector director solo importa la dirección, dividimos entre $-9$ para manejar números más cómodos.

$\vec v_{r_1}=(3,-2,2),\qquad \vec v_{r_2}=(2,-1,3)$











$\cos\alpha=\dfrac{\left|\vec v_{r_1}\cdot\vec v_{r_2}\right|}{\left|\vec v_{r_1}\right|\left|\vec v_{r_2}\right|}$

$=\dfrac{|6+2+6|}{\sqrt{9+4+4}\cdot\sqrt{4+1+9}}=\dfrac{14}{\sqrt{17}\cdot\sqrt{14}}$

$=\dfrac{\sqrt{238}}{17}\approx 0{,}9075$

$\alpha=\arccos(0{,}9075)\approx 24^{\circ}\,50'\,24''$





Las rectas $r_1$ y $r_2$ se cortan formando un ángulo de, aproximadamente, $24^{\circ}\,50'$.