Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas II

En un hospital de las Islas Canarias, un equipo de investigación está analizando cómo se metaboliza en sangre un nuevo medicamento llamado Metabolix, utilizado para tratar infecciones bacterianas. La concentración residual del fármaco en el plasma sanguíneo, denotada como $f(x)$ (medida en miligramos por litro, $\mathrm{mg/L}$), depende del tiempo transcurrido $x$ (en horas) desde su administración. El estudio indica que el medicamento sigue dos fases diferenciadas:

— Fase de absorción: en las primeras dos horas, el fármaco se distribuye por el organismo.

— Fase de eliminación: a partir de la segunda hora, el fármaco empieza a eliminarse.

Este comportamiento se modeliza mediante la siguiente función matemática:

$f(x) = \begin{cases} x^2 - 6x + 11 & \text{si } 0 \le x < 2 \\[6pt] \dfrac{9}{\sqrt{5x-1}} & \text{si } x \ge 2 \end{cases}$

El equipo de investigación necesita aclarar algunas dudas del modelo matemático:

a) Confirme si este modelo es realmente continuo. Justifique su respuesta. [0,5 puntos]

b) La concentración residual varía con el tiempo. Compruebe que la velocidad de crecimiento instantánea de la concentración residual a las 3 horas de administrar Metabolix es mayor que $-0{,}5\ (\mathrm{mg/L})/\mathrm{h}$. [0,75 puntos]

c) ¿Es cierto que la concentración residual del fármaco en la sangre siempre va disminuyendo con respecto al tiempo transcurrido? Averigüe en qué instante la concentración residual es máxima y calcule el valor de dicha concentración. [0,75 puntos]

d) Pasado un largo periodo de tiempo, ¿cuál será la concentración residual de este medicamento? [0,5 puntos]

$\textbf{a) Confirme si este modelo es realmente continuo. Justifique su respuesta. [0,5 puntos]}$

Cada una de las dos ramas es continua en el intervalo en el que está definida: la primera es un polinomio y la segunda un cociente cuyo denominador no se anula, porque para $x\ge 2$ se tiene $5x-1\ge 9>0$. El único punto donde la continuidad puede fallar es el de empalme, $x=2$, y allí basta comprobar que los dos límites laterales y el valor de la función coinciden.

$\lim_{x\to 2^-}f(x)=\lim_{x\to 2^-}\left(x^2-6x+11\right)=4-12+11=3$

$\lim_{x\to 2^+}f(x)=\lim_{x\to 2^+}\dfrac{9}{\sqrt{5x-1}}=\dfrac{9}{\sqrt{9}}=\dfrac{9}{3}=3$

$f(2)=\dfrac{9}{\sqrt{5\cdot 2-1}}=\dfrac{9}{3}=3$

Los tres valores coinciden, luego existe el límite en $x=2$ y vale lo mismo que la función. El modelo es, por tanto, continuo en todo su dominio y no presenta ningún salto brusco de concentración al pasar de la fase de absorción a la de eliminación.

$\textbf{b) La concentración residual varía con el tiempo. Compruebe que la velocidad de crecimiento instantánea de la concentración residual a las 3 horas de administrar Metabolix es mayor que } \boldsymbol{-0{,}5\ (\mathrm{mg/L})/\mathrm{h}}\textbf{. [0,75 puntos]}$

La velocidad de crecimiento instantánea en un instante es la derivada de la concentración en ese instante. Como $3>2$, hay que derivar la segunda rama, que conviene escribir como una potencia antes de derivar.

$f(x)=\dfrac{9}{\sqrt{5x-1}}=9\,(5x-1)^{-1/2}$

$f'(x)=9\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right)(5x-1)^{-3/2}\cdot 5=\dfrac{-45}{2\sqrt{(5x-1)^3}}$

$f'(3)=\dfrac{-45}{2\sqrt{14^3}}=\dfrac{-45}{2\cdot 14\sqrt{14}}=\dfrac{-45\sqrt{14}}{392}\approx -0{,}4295$

Comparando los dos números, $-0{,}4295>-0{,}5$.

A las 3 horas de la administración la concentración residual está disminuyendo a razón de $0{,}4295\ (\mathrm{mg/L})/\mathrm{h}$, es decir, más despacio de lo que indica la cota de $-0{,}5\ (\mathrm{mg/L})/\mathrm{h}$ del enunciado.

$\textbf{c) ¿Es cierto que la concentración residual del fármaco en la sangre siempre va disminuyendo con respecto al tiempo transcurrido? Averigüe en qué instante la concentración residual es máxima y calcule el valor de dicha concentración. [0,75 puntos]}$

Para responder hay que estudiar el signo de la derivada en cada una de las dos ramas por separado.

En la primera rama, $0\le x<2$:

$f'(x)=2x-6$

$2x-6<0\Longleftrightarrow x<3$

y como todo el tramo cumple $x<2<3$, la derivada es negativa en $[0,2)$.

En la segunda rama, $x\ge 2$, la derivada obtenida en el apartado anterior tiene numerador negativo y denominador positivo:

$f'(x)=\dfrac{-45}{2\sqrt{(5x-1)^3}}<0$



La derivada es negativa en todo el dominio, de modo que la afirmación es cierta: la concentración residual disminuye desde el primer momento. Al no haber ningún extremo relativo, el máximo absoluto solo puede alcanzarse en el extremo izquierdo del dominio.

$f(0)=0^2-6\cdot 0+11=11$

La concentración residual es máxima en el instante mismo de la administración, $x=0$ horas, y vale $11\ \mathrm{mg/L}$.

$\textbf{d) Pasado un largo periodo de tiempo, ¿cuál será la concentración residual de este medicamento? [0,5 puntos]}$

Que pase un largo periodo de tiempo se traduce en calcular el límite de la función cuando $x$ tiende a infinito, y para valores grandes de $x$ manda la segunda rama.

$\lim_{x\to +\infty}f(x)=\lim_{x\to +\infty}\dfrac{9}{\sqrt{5x-1}}=\dfrac{9}{+\infty}=0$

Pasado mucho tiempo la concentración residual del medicamento tiende a $0\ \mathrm{mg/L}$: el fármaco se elimina por completo del plasma, aunque nunca en un instante concreto, ya que $y=0$ es una asíntota horizontal de la gráfica.