Ejercicio resuelto de Solubilidad · Química · 2023

En diferentes países, la fluoración del agua de consumo humano es utilizada para prevenir la caries dental.

a) Si el valor del producto de solubilidad ($K_\mathrm{ps}$) del difluoruro de calcio ($\mathrm{CaF_2}$), a 25 °C, es igual a $3{,}4 \times 10^{-11}$, ¿cuál es la solubilidad (en mol/L) de una disolución saturada de $\mathrm{CaF_2}$?

b) ¿Cuántos moles de fluoruro de sodio (NaF) hay que añadir a 2 L de una disolución acuosa, la cual contiene 20 mg/L de $\mathrm{Ca^{2+}}$, para que comience a precipitar $\mathrm{CaF_2}$?

Datos: masa atómica relativa: $\mathrm{Ca} = 40{,}1$.

$\textbf{a) Si el valor del producto de solubilidad (Kps) del difluoruro de calcio (CaF₂), a 25 °C, es igual a 3,4 × 10⁻¹¹, ¿cuál es la solubilidad (en mol/L) de una disolución saturada de CaF₂?}$

En agua pura los dos iones proceden únicamente de la sal que se disuelve, así que aparecen en la proporción de la fórmula: por cada calcio, dos fluoruros. Llamando $s$ a la solubilidad molar:

$\mathrm{CaF_2(s)} \rightleftharpoons \mathrm{Ca^{2+}(aq)} + 2\,\mathrm{F^-(aq)}$

$$	$\mathrm{Ca^{2+}}$	$\mathrm{F^-}$ Equilibrio (mol/L)	$s$	$2s$

$K_{ps} = [\mathrm{Ca^{2+}}]\,[\mathrm{F^-}]^2 = s\,(2s)^2 = 4s^3$

$s^3 = \dfrac{3{,}4 \cdot 10^{-11}}{4} = 8{,}5 \cdot 10^{-12}$

$s = \sqrt[3]{8{,}5 \cdot 10^{-12}} = 2{,}04 \cdot 10^{-4}\ \mathrm{mol/L}$

Es una sal muy poco soluble, lo que explica que el flúor añadido al agua de consumo pueda fijarse en el esmalte dental sin que se disuelva de nuevo con facilidad.

$\textbf{b) ¿Cuántos moles de fluoruro de sodio (NaF) hay que añadir a 2 L de una disolución acuosa, la cual contiene 20 mg/L de Ca²⁺, para que comience a precipitar CaF₂?}$

Ahora la situación es distinta: el calcio ya está en la disolución y lo que se añade es el otro ion. La precipitación empieza justo cuando el producto de las concentraciones alcanza el valor de $K_{ps}$.

Primero, la concentración de calcio, con $M(\mathrm{Ca}) = 40{,}1$ g/mol y pasando los miligramos a gramos:

$[\mathrm{Ca^{2+}}] = \dfrac{0{,}020}{40{,}1} = 4{,}99 \cdot 10^{-4}\ \mathrm{mol/L}$

En el instante en que comienza a precipitar:

$[\mathrm{Ca^{2+}}]\,[\mathrm{F^-}]^2 = K_{ps}$

$[\mathrm{F^-}]^2 = \dfrac{3{,}4 \cdot 10^{-11}}{4{,}99 \cdot 10^{-4}} = 6{,}82 \cdot 10^{-8}$

$[\mathrm{F^-}] = 2{,}61 \cdot 10^{-4}\ \mathrm{mol/L}$

El fluoruro de sodio es una sal soluble y se disocia por completo, de modo que aporta un fluoruro por cada unidad de fórmula. En los 2 L de disolución:

$n(\mathrm{NaF}) = 2{,}61 \cdot 10^{-4} \cdot 2 = 5{,}22 \cdot 10^{-4}\ \mathrm{mol}$

Hay que añadir algo más de medio milimol. Por debajo de esa cantidad el producto de concentraciones es menor que $K_{ps}$ y la disolución no está saturada, así que no se forma precipitado.