Ejercicio resuelto de Óptica · Física · Islas Baleares · 2020

Una ventana de 40 cm de anchura y 60 cm de altura se encuentra a 3 m de una pared. Se obtiene la imagen de la ventana enfocada sobre la pared con una lente delgada situada a 30 cm de la pared y 2,7 m de la ventana. Calcule:

a) La distancia focal de la lente usada. [0,75 puntos]

b) La altura de la imagen de la ventana. [0,5 puntos]

c) El área de la imagen de la ventana. [0,75 puntos]

Datos (criterio DIN para lentes delgadas): $\dfrac{1}{s'} - \dfrac{1}{s} = \dfrac{1}{f'}$; $M_T = \dfrac{y'}{y} = \dfrac{s'}{s}$.

$\textbf{a) La distancia focal de la lente usada. [0,75 puntos]}$










Se emplea el criterio DIN: la luz viaja de izquierda a derecha, así que la ventana, que está a la izquierda, tiene distancia negativa, y la pared, donde se recoge la imagen real, positiva:

$s=-2{,}7\ \text{m}=-270\ \text{cm}$

$s'=+30\ \text{cm}$





Se aplica la ecuación de Descartes para lentes delgadas:

$\dfrac{1}{f'}=\dfrac{1}{s'}-\dfrac{1}{s}=\dfrac{1}{30}-\dfrac{1}{-270}$

$\dfrac{1}{f'}=3{,}333\cdot10^{-2}+3{,}704\cdot10^{-3}=3{,}704\cdot10^{-2}\ \text{cm}^{-1}$

$f'=27\ \text{cm}$

La distancia focal de la lente es de $27\ \text{cm}$, y la lente es convergente, como corresponde a la que forma una imagen real sobre una pared.

$\textbf{b) La altura de la imagen de la ventana. [0,5 puntos]}$

El aumento lateral es:

$M_T=\dfrac{s'}{s}=\dfrac{30}{-270}=-0{,}111$

El signo negativo indica que la imagen está invertida y el valor absoluto, que es nueve veces menor que el objeto. La altura de la imagen es:

$y'=M_T\,y=-0{,}111\cdot60=-6{,}67\ \text{cm}$

La imagen de la ventana mide $6{,}67\ \text{cm}$ de alto y está invertida.

$\textbf{c) El área de la imagen de la ventana. [0,75 puntos]}$

La anchura se reduce en la misma proporción que la altura, porque el aumento lateral es el mismo en todas las direcciones perpendiculares al eje:

$x'=|M_T|\,x=0{,}111\cdot40=4{,}44\ \text{cm}$

El área es el producto de las dos dimensiones, es decir, el área de la ventana multiplicada por el cuadrado del aumento:

$S'=M_T^2\,S=(0{,}111)^2\cdot40\cdot60$

$S'=6{,}67\cdot4{,}44=29{,}6\ \text{cm}^2$

La imagen de la ventana ocupa $29{,}6\ \text{cm}^2$ de la pared.