Ejercicio resuelto de Campo magnético · Física · 2020

La fuerza sobre un protón en movimiento dentro del campo magnético uniforme representado en la figura tiene la dirección y el sentido del vector $\mathbf{F}$ en un instante dado.



a) Determine la dirección y el sentido de la velocidad del protón. [0,25 puntos]

b) Describa la trayectoria del protón dentro del campo magnético. [0,25 puntos]

c) Deduzca la expresión que relaciona la velocidad del protón con el radio de la trayectoria y la intensidad del campo. [0,75 puntos]

d) Calcule cuántas vueltas completas hace el protón durante 4 μs si la velocidad inicial es de 290 km/s y el campo magnético es de 0,35 T. [0,75 puntos]

Datos: $m_p = 1{,}673\cdot10^{-27}\ \text{kg}$; $e = 1{,}6\cdot10^{-19}\ \text{C}$; $\mathbf{F} = q\,\mathbf{v}\times\mathbf{B}$.

$\textbf{a) Determine la dirección y el sentido de la velocidad del protón. [0,25 puntos]}$










Se toma el eje $X$ hacia la derecha, el $Y$ hacia arriba y el $Z$ saliente del papel. El campo sale del papel y la fuerza apunta hacia arriba:

$\vec B=B\,\vec k,\qquad \vec F=F\,\vec\jmath$

La fuerza de Lorentz es

$\vec F=q\,\vec v\times\vec B$

y ha de ser perpendicular a la velocidad y al campo.





Desarrollando el producto vectorial con $\vec v=v_x\,\vec\imath+v_y\,\vec\jmath$:

$\vec v\times\vec B=(v_x\,\vec\imath+v_y\,\vec\jmath)\times(B\,\vec k)=v_x B\,(\vec\imath\times\vec k)+v_y B\,(\vec\jmath\times\vec k)$

$\vec v\times\vec B=-v_x B\,\vec\jmath+v_y B\,\vec\imath$

Para que la fuerza no tenga componente horizontal ha de ser $v_y=0$, y para que su componente vertical sea positiva con $q>0$ ha de ser $v_x<0$.

La velocidad del protón es horizontal y apunta hacia la izquierda.

$\textbf{b) Describa la trayectoria del protón dentro del campo magnético. [0,25 puntos]}$

La fuerza magnética es siempre perpendicular a la velocidad, de modo que no realiza trabajo y el módulo de la velocidad no cambia. Una fuerza constante en módulo y siempre perpendicular a la velocidad es una fuerza centrípeta: el protón describe una circunferencia con movimiento circular uniforme.

Como la fuerza inicial apunta hacia arriba, el centro está por encima del protón, y este recorre la circunferencia en sentido horario.

$\textbf{c) Deduzca la expresión que relaciona la velocidad del protón con el radio de la trayectoria y la intensidad del campo. [0,75 puntos]}$

Se iguala la fuerza de Lorentz, que aquí es la fuerza centrípeta, a la masa por la aceleración normal:

$q\,v\,B=\dfrac{m_p\,v^2}{r}$

Se simplifica una velocidad:

$q\,B=\dfrac{m_p\,v}{r}$

y se despeja la velocidad:

$v=\dfrac{q\,B\,r}{m_p}$

La velocidad es proporcional al radio de la trayectoria y a la intensidad del campo. Equivalentemente, $r=m_p v/(qB)$: cuanto más rápido va el protón, más abierta es su circunferencia.

$\textbf{d) Calcule cuántas vueltas completas hace el protón durante }\boldsymbol{4\ \mu\text{s}}\textbf{ si la velocidad inicial es de 290 km/s y el campo magnético es de 0,35 T. [0,75 puntos]}$

El período es el tiempo que tarda en recorrer la circunferencia completa:

$T=\dfrac{2\pi r}{v}=\dfrac{2\pi}{v}\cdot\dfrac{m_p\,v}{q\,B}=\dfrac{2\pi\,m_p}{q\,B}$

La velocidad se simplifica: el período no depende de ella. Se sustituyen los datos:

$T=\dfrac{2\pi\cdot1{,}673\cdot10^{-27}}{1{,}6\cdot10^{-19}\cdot0{,}35}=\dfrac{1{,}051\cdot10^{-26}}{5{,}6\cdot10^{-20}}$

$T=1{,}877\cdot10^{-7}\ \text{s}$

Y el número de vueltas:

$n=\dfrac{t}{T}=\dfrac{4\cdot10^{-6}}{1{,}877\cdot10^{-7}}=21{,}3$

El protón completa 21 vueltas enteras. El dato de la velocidad solo serviría para calcular el radio, que resulta ser de 8,7 mm.