Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2020

a) Ganímedes tiene una masa de $1{,}48\cdot10^{23}\ \text{kg}$ y orbita Júpiter con un período de 7,15 días. La órbita es aproximadamente una circunferencia de $10^{6}\ \text{km}$ de radio. Calcule la energía cinética de Ganímedes por el movimiento orbital suponiendo que la órbita es circular. [0,7 puntos]

b) Escriba la relación entre la energía cinética y la energía potencial de un satélite en una órbita circular. [0,3 puntos]

c) Justifique la relación anterior. [0,7 puntos]

d) Determine la energía mecánica total de un satélite que tiene una energía cinética de $3\cdot10^{20}\ \text{J}$. [0,3 puntos]

Datos: $G = 6{,}674\cdot10^{-11}\ \text{N m}^2\text{ kg}^{-2}$; $E_p = -G\,\dfrac{Mm}{r}$.

$\textbf{a) Ganímedes tiene una masa de }\boldsymbol{1{,}48\cdot10^{23}\ \text{kg}}\textbf{ y orbita Júpiter con un período de 7,15 días. La órbita es aproximadamente una circunferencia de }\boldsymbol{10^{6}\ \text{km}}\textbf{ de radio. Calcule la energía cinética de Ganímedes por el movimiento orbital suponiendo que la órbita es circular. [0,7 puntos]}$

En una órbita circular el movimiento es uniforme, así que la velocidad es la longitud de la circunferencia dividida por el período:

$v=\dfrac{2\pi r}{T}$

Se expresan los datos en unidades del Sistema Internacional:

$r=10^{6}\ \text{km}=10^{9}\ \text{m}$

$T=7{,}15\ \text{días}\cdot86\,400=6{,}178\cdot10^{5}\ \text{s}$

$v=\dfrac{2\pi\cdot10^{9}}{6{,}178\cdot10^{5}}=1{,}017\cdot10^{4}\ \text{m/s}$

Y la energía cinética:

$E_c=\dfrac12 m v^2=\dfrac12\cdot1{,}48\cdot10^{23}\cdot(1{,}017\cdot10^{4})^2$

$E_c=7{,}66\cdot10^{30}\ \text{J}$

$\textbf{b) Escriba la relación entre la energía cinética y la energía potencial de un satélite en una órbita circular. [0,3 puntos]}$

$E_c=-\dfrac{E_p}{2}$

Es decir, la energía potencial es, en valor absoluto, el doble de la cinética, y de signo contrario.

$\textbf{c) Justifique la relación anterior. [0,7 puntos]}$

En una órbita circular la única fuerza sobre el satélite es la gravitatoria, y es ella la que hace de fuerza centrípeta. Aplicando la segunda ley de Newton:

$G\dfrac{M\,m}{r^2}=\dfrac{m\,v^2}{r}$

Se simplifica un factor $r$ y queda:

$m\,v^2=G\dfrac{M\,m}{r}$

La energía cinética es la mitad del primer miembro:

$E_c=\dfrac12 m v^2=\dfrac12\,G\dfrac{M\,m}{r}$

Y la energía potencial gravitatoria es, precisamente, el segundo miembro cambiado de signo:

$E_p=-G\dfrac{M\,m}{r}$

Comparando las dos expresiones se obtiene la relación buscada:

$E_c=-\dfrac{E_p}{2}$

$\textbf{d) Determine la energía mecánica total de un satélite que tiene una energía cinética de }\boldsymbol{3\cdot10^{20}\ \text{J}}\textbf{. [0,3 puntos]}$

La energía mecánica es la suma de las dos, y con la relación anterior:

$E=E_c+E_p=E_c-2E_c=-E_c$

$E=-3\cdot10^{20}\ \text{J}$

La energía mecánica es igual a la cinética cambiada de signo. Es negativa, como corresponde a un satélite ligado al planeta.