Ejercicio resuelto de Física cuántica · Física · 2020

Se ilumina una placa de sodio con luz monocromática de 470 nm. Calcule la velocidad máxima de los electrones emitidos por efecto fotoeléctrico. [2 puntos]

Datos: $h = 6{,}626\cdot10^{-34}\ \text{J s}$; $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m/s}$; masa del electrón, $m_e = 9{,}1\cdot10^{-31}\ \text{kg}$; $|e| = 1{,}6\cdot10^{-19}\ \text{C}$; trabajo de extracción del sodio, 2,28 eV.

$\textbf{Se ilumina una placa de sodio con luz monocromática de 470 nm. Calcule la velocidad máxima de los electrones emitidos por efecto fotoeléctrico. [2 puntos]}$

Por la ecuación de Einstein del efecto fotoeléctrico, la energía del fotón incidente se reparte entre el trabajo de extracción del metal y la energía cinética máxima del electrón arrancado:

$E_{\text{fotón}}=W_{\text{ext}}+E_{c,\text{máx}}$

Se calcula primero la energía del fotón, que solo depende de la longitud de onda:

$E_{\text{fotón}}=h\dfrac{c}{\lambda}=6{,}626\cdot10^{-34}\cdot\dfrac{3\cdot10^{8}}{470\cdot10^{-9}}$

$E_{\text{fotón}}=4{,}229\cdot10^{-19}\ \text{J}$

Conviene expresarla en electronvoltios para compararla con el trabajo de extracción:

$E_{\text{fotón}}=\dfrac{4{,}229\cdot10^{-19}}{1{,}6\cdot10^{-19}}=2{,}643\ \text{eV}$

Como $2{,}643\ \text{eV}>2{,}28\ \text{eV}$, la luz sí arranca electrones. La energía cinética máxima es lo que sobra:

$E_{c,\text{máx}}=2{,}643-2{,}28=0{,}363\ \text{eV}$

Se pasa a julios para poder despejar la velocidad:

$E_{c,\text{máx}}=0{,}363\cdot1{,}6\cdot10^{-19}=5{,}81\cdot10^{-20}\ \text{J}$

Y de la expresión de la energía cinética:

$E_{c,\text{máx}}=\dfrac12 m_e v_{\text{máx}}^2\Rightarrow v_{\text{máx}}=\sqrt{\dfrac{2E_{c,\text{máx}}}{m_e}}$

$v_{\text{máx}}=\sqrt{\dfrac{2\cdot5{,}81\cdot10^{-20}}{9{,}1\cdot10^{-31}}}=\sqrt{1{,}278\cdot10^{11}}$

$v_{\text{máx}}=3{,}57\cdot10^{5}\ \text{m/s}=357\ \text{km/s}$

La velocidad máxima de los electrones emitidos es de $357\ \text{km/s}$, poco más de la milésima parte de la velocidad de la luz, de modo que el tratamiento no relativista está justificado.