Ejercicio resuelto de Óptica · Física · Islas Baleares · 2020

El filamento de una bombilla encendida se proyecta sobre una pantalla usando una lente delgada. Las distancias del filamento y de la pantalla a la lente son 15 cm y 75 cm, respectivamente.



a) Calcule la distancia focal de la lente usada. [0,75 puntos]

b) La imagen del filamento sobre la pantalla tiene una longitud de 2,5 cm. Calcule la longitud del filamento de la bombilla. [0,5 puntos]

c) El filamento y la pantalla se mantienen separados 90 cm. La lente se mueve hacia la pantalla hasta que el filamento vuelve a estar enfocado sobre la pantalla. Calcule a qué distancia de la pantalla ha quedado la lente. [0,75 puntos]

Datos (criterio DIN para lentes delgadas): $\dfrac{1}{s'} - \dfrac{1}{s} = \dfrac{1}{f'}$; $M_T = \dfrac{y'}{y} = \dfrac{s'}{s}$.

$\textbf{a) Calcule la distancia focal de la lente usada. [0,75 puntos]}$










Se emplea el criterio DIN: la luz viaja de izquierda a derecha, así que el filamento, que está a la izquierda, tiene distancia negativa, y la pantalla, donde se recoge la imagen real, positiva:

$s=-150\ \text{mm},\qquad s'=+750\ \text{mm}$





Se aplica la ecuación de Descartes para lentes delgadas:

$\dfrac{1}{f'}=\dfrac{1}{s'}-\dfrac{1}{s}=\dfrac{1}{750}-\dfrac{1}{-150}$

$\dfrac{1}{f'}=1{,}333\cdot10^{-3}+6{,}667\cdot10^{-3}=8{,}0\cdot10^{-3}\ \text{mm}^{-1}$

$f'=125\ \text{mm}$

La distancia focal de la lente es de $125\ \text{mm}$, y es convergente, como corresponde a una lente que forma una imagen real sobre una pantalla.

$\textbf{b) La imagen del filamento sobre la pantalla tiene una longitud de 2,5 cm. Calcule la longitud del filamento de la bombilla. [0,5 puntos]}$

El aumento lateral es:

$M_T=\dfrac{s'}{s}=\dfrac{750}{-150}=-5$

El signo negativo indica que la imagen está invertida, y el valor absoluto, que es cinco veces mayor que el objeto. Se despeja la longitud del filamento:

$y=\dfrac{y'}{M_T}=\dfrac{2{,}5}{-5}=-0{,}5\ \text{cm}$

El filamento mide $0{,}5\ \text{cm}$; el signo solo recuerda que objeto e imagen están orientados al revés.

$\textbf{c) El filamento y la pantalla se mantienen separados 90 cm. La lente se mueve hacia la pantalla hasta que el filamento vuelve a estar enfocado sobre la pantalla. Calcule a qué distancia de la pantalla ha quedado la lente. [0,75 puntos]}$

Se llama $d$ a la distancia del filamento a la lente. Como la distancia total es de 900 mm, la distancia de la lente a la pantalla es $900-d$, y con el criterio DIN:

$s=-d,\qquad s'=900-d$

Se sustituye en la ecuación de Descartes con la focal ya conocida:

$\dfrac{1}{900-d}+\dfrac{1}{d}=\dfrac{1}{125}$

Se suman las fracciones del primer miembro:

$\dfrac{900}{(900-d)\,d}=\dfrac{1}{125}\Rightarrow (900-d)\,d=112\,500$

$d^2-900\,d+112\,500=0$

$d=\dfrac{900\pm\sqrt{810\,000-450\,000}}{2}=\dfrac{900\pm600}{2}$

$d=150\ \text{mm}\quad\text{o}\quad d=750\ \text{mm}$

La primera solución es la posición de partida, así que al mover la lente hacia la pantalla se llega a la segunda:

$900-d=900-750=150\ \text{mm}=15\ \text{cm}$

La lente queda a $15\ \text{cm}$ de la pantalla. Las dos posiciones son simétricas —objeto e imagen se intercambian—, y en la nueva la imagen es cinco veces menor que el filamento en lugar de cinco veces mayor.