Ejercicio resuelto de Campo magnético · Física · 2020

La figura representa tres hilos conductores rectos, paralelos y de longitud infinita. La corriente eléctrica en el hilo número 1 es de 5 A y en el número 3, de 7 A.



a) Calcule la intensidad de una corriente hacia abajo en el hilo número 2 para que la fuerza total sobre este hilo a causa de las corrientes en los otros dos hilos sea de 0,3 mN por metro hacia la derecha. [1 punto]

b) Determine la intensidad y el sentido de la corriente en el hilo número 2 para que la fuerza magnética total sobre el hilo número 1 a causa de las corrientes de los hilos 2 y 3 sea nula. [1 punto]

Datos: $\mu_0 = 4\pi\cdot10^{-7}\ \text{N A}^{-2}$; fuerza por unidad de longitud entre dos hilos paralelos, $\dfrac{F}{L} = \mu_0\,\dfrac{I_1 I_2}{2\pi d}$.

$\textbf{a) Calcule la intensidad de una corriente hacia abajo en el hilo número 2 para que la fuerza total sobre este hilo a causa de las corrientes en los otros dos hilos sea de 0,3 mN por metro hacia la derecha. [1 punto]}$










Los hilos 1 y 3 llevan la corriente hacia arriba y el hilo 2 hacia abajo, así que las dos parejas son de sentidos contrarios y las dos fuerzas son repulsivas.

El hilo 1 está a la izquierda, de modo que empuja al hilo 2 hacia la derecha; el hilo 3 está a la derecha y lo empuja hacia la izquierda.

Las distancias son 1 cm y 2 cm.





Se aplica la expresión del enunciado a cada pareja:

$\dfrac{F_{1\to2}}{L}=\dfrac{\mu_0}{2\pi}\dfrac{5\,I_2}{0{,}01}=2\cdot10^{-7}\cdot500\,I_2=1{,}0\cdot10^{-4}\,I_2$

$\dfrac{F_{3\to2}}{L}=\dfrac{\mu_0}{2\pi}\dfrac{7\,I_2}{0{,}02}=2\cdot10^{-7}\cdot350\,I_2=7{,}0\cdot10^{-5}\,I_2$

La resultante, hacia la derecha, es la diferencia:

$\dfrac{F}{L}=1{,}0\cdot10^{-4}\,I_2-7{,}0\cdot10^{-5}\,I_2=3{,}0\cdot10^{-5}\,I_2$

Se impone el valor pedido y se despeja:

$3{,}0\cdot10^{-5}\,I_2=0{,}3\cdot10^{-3}\Rightarrow I_2=10\ \text{A}$

Por el hilo 2 han de circular $10\ \text{A}$ hacia abajo.

$\textbf{b) Determine la intensidad y el sentido de la corriente en el hilo número 2 para que la fuerza magnética total sobre el hilo número 1 a causa de las corrientes de los hilos 2 y 3 sea nula. [1 punto]}$

Ahora se estudia el hilo 1. Los hilos 1 y 3 llevan la corriente en el mismo sentido, así que se atraen: el hilo 3 tira del hilo 1 hacia la derecha, con una distancia de 3 cm:

$\dfrac{F_{3\to1}}{L}=2\cdot10^{-7}\cdot\dfrac{5\cdot7}{0{,}03}=2{,}33\cdot10^{-4}\ \text{N/m}$

Para que la fuerza total sobre el hilo 1 sea nula, el hilo 2 ha de empujarlo hacia la izquierda con esa misma intensidad. El hilo 2 está a la derecha del 1, así que la fuerza ha de ser repulsiva, y eso exige que las corrientes sean de sentido contrario: la corriente del hilo 2 ha de ir hacia abajo.

Se iguala su fuerza a la anterior, con la distancia de 1 cm:

$2\cdot10^{-7}\cdot\dfrac{5\,I_2}{0{,}01}=2{,}33\cdot10^{-4}$

$1{,}0\cdot10^{-4}\,I_2=2{,}33\cdot10^{-4}\Rightarrow I_2=2{,}33\ \text{A}$

Por el hilo 2 han de circular $2{,}33\ \text{A}$ hacia abajo.