Ejercicio resuelto de Campo eléctrico · Física · 2020

Dos cargas eléctricas puntuales están en los vértices del lado de un cuadrado como muestra la figura.



a) Una de las flechas que sale del origen de coordenadas representa el campo eléctrico a causa de las dos cargas eléctricas. Justifique de manera breve, sin necesidad de calcular el campo, qué número marca la flecha que representa el campo. [0,5 puntos]

b) Calcule el módulo de la fuerza sobre un electrón en el punto B a causa de las dos cargas. [1,5 puntos]

Datos: $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N m}^2\text{ C}^{-2}$; $|e| = 1{,}6\cdot10^{-19}\ \text{C}$.

$\textbf{a) Una de las flechas que sale del origen de coordenadas representa el campo eléctrico a causa de las dos cargas eléctricas. Justifique de manera breve, sin necesidad de calcular el campo, qué número marca la flecha que representa el campo. [0,5 puntos]}$










Las dos cargas son negativas, así que los dos campos en el origen apuntan hacia ellas: el de la carga de $-2\ \mu\text{C}$ es horizontal y el de la de $-4\ \mu\text{C}$ lleva la dirección de la diagonal, a $45^\circ$.

Lo decisivo es que los dos módulos son iguales. La carga de $-4\ \mu\text{C}$ es el doble de grande, pero está a la diagonal del cuadrado, es decir, $\sqrt2$ veces más lejos, y el campo va con el inverso del cuadrado de la distancia:





$E\propto\dfrac{q}{r^2}:\qquad \dfrac{4}{(\sqrt2\,d)^2}=\dfrac{4}{2d^2}=\dfrac{2}{d^2}$

que es exactamente lo mismo que da la carga de $-2\ \mu\text{C}$ a la distancia $d$.

Al sumar dos vectores del mismo módulo, la resultante cae sobre la bisectriz del ángulo que forman. Ese ángulo va de $0^\circ$ a $45^\circ$, de modo que la resultante está a $22{,}5^\circ$ del eje $X$. Como las flechas están dibujadas cada $22{,}5^\circ$ empezando por la horizontal, el campo lo marca la flecha número 2.

$\textbf{b) Calcule el módulo de la fuerza sobre un electrón en el punto B a causa de las dos cargas. [1,5 puntos]}$










El punto B es el vértice superior izquierdo del cuadrado, de 2 mm de lado. Sus distancias a las cargas son:

$r_1=2\ \text{mm}\ \text{(la de } -4\ \mu\text{C)}$

$r_2=2\sqrt2=2{,}83\ \text{mm}\ \text{(la de } -2\ \mu\text{C)}$

Los dos campos apuntan hacia sus cargas: el primero horizontal hacia la derecha y el segundo a $-45^\circ$.





Los módulos son:

$E_1=K\dfrac{4\cdot10^{-6}}{(2\cdot10^{-3})^2}=9{,}0\cdot10^{9}\ \text{N/C}$

$E_2=K\dfrac{2\cdot10^{-6}}{(2\sqrt2\cdot10^{-3})^2}=2{,}25\cdot10^{9}\ \text{N/C}$

En componentes, con el eje $X$ horizontal hacia la derecha:

$\vec E_1=9{,}0\cdot10^{9}\,\vec\imath\ \text{N/C}$

$\vec E_2=2{,}25\cdot10^{9}(\cos(-45^\circ)\,\vec\imath+\sin(-45^\circ)\,\vec\jmath)=1{,}59\cdot10^{9}\,\vec\imath-1{,}59\cdot10^{9}\,\vec\jmath$

Por el principio de superposición:

$\vec E_B=1{,}059\cdot10^{10}\,\vec\imath-1{,}59\cdot10^{9}\,\vec\jmath\ \text{N/C}$

$E_B=\sqrt{(1{,}059\cdot10^{10})^2+(1{,}59\cdot10^{9})^2}=1{,}071\cdot10^{10}\ \text{N/C}$

Y la fuerza sobre el electrón:

$F=|q_e|\,E_B=1{,}6\cdot10^{-19}\cdot1{,}071\cdot10^{10}$

$F=1{,}71\cdot10^{-9}\ \text{N}$

Por ser negativa la carga del electrón, la fuerza tiene sentido contrario al campo: apunta hacia la izquierda y hacia arriba, alejándose de las dos cargas negativas.