Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2020

a) El perihelio de Venus está a 0,7184 ua del Sol y el afelio, a 0,7282 ua. Determine la longitud del semieje mayor de la órbita de Venus. [0,5 puntos]

b) Calcule el período orbital en días de un planeta que girase alrededor del Sol con una órbita circular de 0,7184 ua de radio. [1,5 puntos]

Datos: $G = 6{,}674\cdot10^{-11}\ \text{N m}^2\text{ kg}^{-2}$; masa del Sol $\approx 2\cdot10^{30}\ \text{kg}$; $1\ \text{ua} = 149\,597\,871\ \text{km}$.

$\textbf{a) El perihelio de Venus está a 0,7184 ua del Sol y el afelio, a 0,7282 ua. Determine la longitud del semieje mayor de la órbita de Venus. [0,5 puntos]}$

El perihelio y el afelio son los dos extremos del eje mayor de la elipse medidos desde el foco que ocupa el Sol, de modo que su suma es el eje mayor completo:

$r_p+r_a=2a\Rightarrow a=\dfrac{r_p+r_a}{2}$

$a=\dfrac{0{,}7184+0{,}7282}{2}=0{,}7233\ \text{ua}$

El semieje mayor de la órbita de Venus mide $0{,}7233\ \text{ua}$. La órbita es casi circular: los dos radios extremos apenas se diferencian en un 1 %.

$\textbf{b) Calcule el período orbital en días de un planeta que girase alrededor del Sol con una órbita circular de 0,7184 ua de radio. [1,5 puntos]}$

En una órbita circular la fuerza gravitatoria hace de fuerza centrípeta:

$G\dfrac{M\,m}{r^2}=\dfrac{m\,v^2}{r}$

La velocidad se puede escribir en función del período, porque el movimiento es circular uniforme:

$v=\dfrac{2\pi r}{T}$

Sustituyendo y simplificando la masa del planeta:

$\dfrac{G\,M}{r^2}=\dfrac{1}{r}\dfrac{4\pi^2 r^2}{T^2}\Rightarrow T^2=\dfrac{4\pi^2 r^3}{G\,M}$

que es la tercera ley de Kepler. Se expresa el radio en metros:

$r=0{,}7184\cdot1{,}49597871\cdot10^{11}=1{,}0747\cdot10^{11}\ \text{m}$

Y se sustituyen los datos:

$T=2\pi\sqrt{\dfrac{(1{,}0747\cdot10^{11})^3}{6{,}674\cdot10^{-11}\cdot2\cdot10^{30}}}=2\pi\sqrt{9{,}299\cdot10^{12}}$

$T=1{,}916\cdot10^{7}\ \text{s}$

Se pasa a días:

$T=\dfrac{1{,}916\cdot10^{7}}{86\,400}=221{,}8\ \text{días}$

El período sería de unos 222 días, muy próximo a los 224,7 días que tarda Venus de verdad: la pequeña diferencia se debe a que su órbita real tiene un semieje mayor algo mayor que ese radio.