Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2020

a) Un satélite de 2000 kg se mueve a 8,75 km/s en una órbita circular de 500 km de altura alrededor de un planeta de 4300 km de radio. Calcule el módulo del momento angular del satélite respecto del centro del planeta. [0,5 puntos]

b) Un satélite diferente tiene una órbita elíptica alrededor de otro planeta. La altura de la órbita oscila entre 420 km y 560 km. La velocidad orbital cambia entre 10,6 km/s y 10,8 km/s. ¿Qué velocidad tiene el satélite cuando se encuentra a 420 km de altura? Justifique la respuesta brevemente. [0,75 puntos]

c) Calcule el radio del planeta del apartado b. [0,75 puntos]

Datos: $G = 6{,}674\cdot10^{-11}\ \text{N m}^2\text{ kg}^{-2}$; $L = m\,v\,r$ para una órbita circular.

$\textbf{a) Un satélite de 2000 kg se mueve a 8,75 km/s en una órbita circular de 500 km de altura alrededor de un planeta de 4300 km de radio. Calcule el módulo del momento angular del satélite respecto del centro del planeta. [0,5 puntos]}$

En una órbita circular la velocidad es siempre perpendicular al radio, de modo que el módulo del momento angular es el que da el enunciado:

$L=m\,v\,r$

El radio de la órbita se mide desde el centro del planeta, así que es el radio del planeta más la altura:

$r=4300+500=4800\ \text{km}=4{,}8\cdot10^{6}\ \text{m}$

Se sustituyen los datos en unidades del Sistema Internacional:

$L=2000\cdot8{,}75\cdot10^{3}\cdot4{,}8\cdot10^{6}$

$L=8{,}4\cdot10^{13}\ \text{kg m}^2/\text{s}$

$\textbf{b) Un satélite diferente tiene una órbita elíptica alrededor de otro planeta. La altura de la órbita oscila entre 420 km y 560 km. La velocidad orbital cambia entre 10,6 km/s y 10,8 km/s. ¿Qué velocidad tiene el satélite cuando se encuentra a 420 km de altura? Justifique la respuesta brevemente. [0,75 puntos]}$

A 420 km de altura el satélite está en el punto más próximo al planeta, y allí lleva la velocidad mayor: $10{,}8\ \text{km/s}$.

La justificación es la segunda ley de Kepler, o lo que es lo mismo, la conservación del momento angular. La fuerza gravitatoria es central, así que su momento respecto del planeta es nulo y $L$ se conserva. En el periastro y en el apoastro la velocidad es perpendicular al radio, de modo que:

$m\,v_p\,r_p=m\,v_a\,r_a$

Cuanto menor es el radio, mayor ha de ser la velocidad.

$\textbf{c) Calcule el radio del planeta del apartado b. [0,75 puntos]}$

Se aplica la igualdad anterior, escribiendo cada radio como el del planeta más la altura correspondiente:

$v_p\,(R+420)=v_a\,(R+560)$

$10{,}8\,(R+420)=10{,}6\,(R+560)$

Se opera, en kilómetros:

$10{,}8\,R+4536=10{,}6\,R+5936$

$0{,}2\,R=1400$

$R=7000\ \text{km}$

El radio del planeta es de $7000\ \text{km}$. Obsérvese que no ha hecho falta la constante $G$ ni la masa del planeta: basta la conservación del momento angular.