Ejercicio resuelto de Física nuclear · Física · 2021

a) Una muestra contiene carbono 14. Calcule cuántos años habrían de pasar para que la actividad de esta muestra se redujese a una séptima parte de la actividad inicial. [1 punto]

b) ¿Qué tipo de desintegración radiactiva se produce en el carbono 14? [0,3 puntos]

c) Las constantes de desintegración radiactiva de dos elementos, $E_1$ y $E_2$, son $0{,}02305\ \text{a}^{-1}$ y $0{,}02197\ \text{a}^{-1}$, respectivamente. Una muestra que contiene uno de estos elementos tiene ahora la misma actividad radiactiva que una muestra que contiene el otro elemento. Razone qué muestra tenía más actividad en el pasado. Calcule cuánto tiempo hace que una de las muestras tenía una actividad 1,2 veces la actividad de la otra. Indique claramente el origen de tiempos usado para hacer el cálculo. [0,7 puntos]

Datos: $T_{1/2}(^{14}\text{C}) = 5730\ \text{a}$; $A(t) = A_0\,e^{-\lambda t}$; $\lambda = \dfrac{\ln 2}{T_{1/2}}$.

$\textbf{a) Una muestra contiene carbono 14. Calcule cuántos años habrían de pasar para que la actividad de esta muestra se redujese a una séptima parte de la actividad inicial. [1 punto]}$

La actividad decae según la ley de desintegración radiactiva, con la constante que se obtiene del período de semidesintegración:

$\lambda=\dfrac{\ln 2}{T_{1/2}}=\dfrac{\ln 2}{5730}=1{,}2097\cdot10^{-4}\ \text{a}^{-1}$

Se impone que la actividad sea la séptima parte de la inicial:

$\dfrac{A_0}{7}=A_0\,e^{-\lambda t}\Rightarrow e^{\lambda t}=7$

$t=\dfrac{\ln 7}{\lambda}=\dfrac{1{,}9459}{1{,}2097\cdot10^{-4}}$

$t=1{,}61\cdot10^{4}\ \text{a}$

Habrían de pasar unos $16\,100$ años.

$\textbf{b) ¿Qué tipo de desintegración radiactiva se produce en el carbono 14? [0,3 puntos]}$

El carbono 14 tiene exceso de neutrones y se desintegra por emisión $\beta^-$: uno de sus neutrones se convierte en un protón, y se emiten un electrón y un antineutrino electrónico.

${}^{14}_{6}\text{C}\rightarrow{}^{14}_{7}\text{N}+{}^{0}_{-1}e+\bar\nu_e$

El número másico no cambia y el número atómico aumenta en una unidad: el carbono 14 se convierte en nitrógeno 14, que es estable.

$\textbf{c) Las constantes de desintegración radiactiva de dos elementos, }\boldsymbol{E_1}\textbf{ y }\boldsymbol{E_2}\textbf{, son }\boldsymbol{0{,}02305\ \text{a}^{-1}}\textbf{ y }\boldsymbol{0{,}02197\ \text{a}^{-1}}\textbf{, respectivamente. Una muestra que contiene uno de estos elementos tiene ahora la misma actividad radiactiva que una muestra que contiene el otro elemento. Razone qué muestra tenía más actividad en el pasado. Calcule cuánto tiempo hace que una de las muestras tenía una actividad 1,2 veces la actividad de la otra. Indique claramente el origen de tiempos usado para hacer el cálculo. [0,7 puntos]}$

Se toma como origen de tiempos el instante actual, aquel en el que las dos actividades coinciden. Los tiempos pasados son entonces negativos, y conviene escribir la ley de desintegración hacia atrás llamando $\tau$ al tiempo transcurrido desde el pasado hasta ahora:

$A_i(\text{ahora})=A_i(\text{pasado})\,e^{-\lambda_i\tau}\Rightarrow A_i(\text{pasado})=A(\text{ahora})\,e^{+\lambda_i\tau}$

Cuanto mayor sea la constante de desintegración, más deprisa ha caído la actividad y, por tanto, mayor era en el pasado. Como $\lambda_1>\lambda_2$, la muestra de $E_1$ tenía más actividad.

Se impone que el cociente valga 1,2:

$\dfrac{A_1(\text{pasado})}{A_2(\text{pasado})}=e^{(\lambda_1-\lambda_2)\tau}=1{,}2$

$\tau=\dfrac{\ln 1{,}2}{\lambda_1-\lambda_2}=\dfrac{0{,}1823}{0{,}02305-0{,}02197}$

$\tau=\dfrac{0{,}1823}{1{,}08\cdot10^{-3}}=169\ \text{a}$

Hace unos 169 años la muestra de $E_1$ tenía una actividad 1,2 veces la de la muestra de $E_2$.