Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Islas Baleares · 2021

A 20 m de una fuente sonora que genera un frente de onda esférico se miden 86,0 dB.

a) ¿Cuántos decibelios se medirán aproximadamente al doble de distancia de la fuente? [0,3 puntos]

b) Calcule cuántos decibelios se medirán a 112 m. [1 punto]

c) Calcule a qué distancia se medirán 88,0 dB. [0,7 puntos]

Datos: $I(\text{dB}) = 10\log\dfrac{I}{10^{-12}\ \text{W m}^{-2}}$; $I_1\,4\pi r_1^2 = I_2\,4\pi r_2^2$.

$\textbf{a) ¿Cuántos decibelios se medirán aproximadamente al doble de distancia de la fuente? [0,3 puntos]}$

El frente de onda es esférico, así que la intensidad va con el inverso del cuadrado de la distancia. Al duplicar la distancia, la intensidad se reduce a la cuarta parte, y en la escala de decibelios eso equivale a:

$\Delta\beta=10\log\dfrac{1}{4}=-6{,}0\ \text{dB}$

$\beta=86{,}0-6{,}0=80{,}0\ \text{dB}$

A 40 m de la fuente se medirán unos $80{,}0\ \text{dB}$.

$\textbf{b) Calcule cuántos decibelios se medirán a 112 m. [1 punto]}$

Se parte de la conservación de la potencia a través de las esferas concéntricas:

$I_1\,4\pi r_1^2=I_2\,4\pi r_2^2\Rightarrow \dfrac{I_2}{I_1}=\left(\dfrac{r_1}{r_2}\right)^2$

Y se restan las dos expresiones del nivel de intensidad sonora:

$\beta_2-\beta_1=10\log\dfrac{I_2}{I_1}=20\log\dfrac{r_1}{r_2}$

$\beta_2-\beta_1=20\log\dfrac{20}{112}=20\cdot(-0{,}748)=-15{,}0\ \text{dB}$

$\beta_2=86{,}0-15{,}0=71{,}0\ \text{dB}$

A 112 m de la fuente se miden $71{,}0\ \text{dB}$.

$\textbf{c) Calcule a qué distancia se medirán 88,0 dB. [0,7 puntos]}$

Ahora se busca una medida dos decibelios mayor, así que hay que acercarse a la fuente:

$88{,}0-86{,}0=20\log\dfrac{20}{r}$

$\log\dfrac{20}{r}=\dfrac{2{,}0}{20}=0{,}1\Rightarrow \dfrac{20}{r}=10^{0{,}1}=1{,}259$

$r=\dfrac{20}{1{,}259}=15{,}9\ \text{m}$

Los $88{,}0\ \text{dB}$ se miden a $15{,}9\ \text{m}$ de la fuente.