Ejercicio resuelto de Óptica · Física · Islas Baleares · 2021

La figura representa un objeto delante de una lente delgada.



a) Copie la figura y dibuje los tres rayos principales para determinar la imagen de la flecha. [1 punto]

b) Use la ecuación de Descartes para calcular la distancia entre la lente y la imagen de una flecha con el pie sobre el eje óptico a 400 mm a la izquierda de la lente. Indique explícitamente si la imagen se forma a la izquierda o a la derecha de la lente. [0,6 puntos]

c) Una flecha de 1,2 cm de altura está a 0,42 m de la lente. La imagen de la flecha es real y se forma a 1,05 m de la lente. Calcule la altura de la imagen e indique si la imagen está derecha o invertida. [0,4 puntos]

Datos (criterio DIN para lentes delgadas): $\dfrac{1}{s'} - \dfrac{1}{s} = \dfrac{1}{f'}$; $M_T = \dfrac{y'}{y} = \dfrac{s'}{s}$.

$\textbf{a) Copie la figura y dibuje los tres rayos principales para determinar la imagen de la flecha. [1 punto]}$










La figura muestra una lente convergente de $+300\ \text{mm}$ de distancia focal con el objeto a 200 mm, es decir, dentro de la focal. Los tres rayos principales son:

i) El rayo paralelo al eje, que tras la lente pasa por el foco imagen $F'$.

ii) El rayo cuya prolongación pasa por el foco objeto $F$, que tras la lente sale paralelo al eje.

iii) El rayo que pasa por el centro óptico, que no se desvía.





Los tres rayos emergentes divergen: lo que se corta son sus prolongaciones, dibujadas con línea discontinua. Comprobamos el resultado con la ecuación de Descartes, con $s=-200\ \text{mm}$:

$\dfrac{1}{s'}=\dfrac{1}{300}-\dfrac{1}{200}=-1{,}667\cdot10^{-3}\ \text{mm}^{-1}\Rightarrow s'=-600\ \text{mm}$

$M_T=\dfrac{s'}{s}=\dfrac{-600}{-200}=3$

La imagen es virtual, derecha y tres veces mayor que el objeto.

$\textbf{b) Use la ecuación de Descartes para calcular la distancia entre la lente y la imagen de una flecha con el pie sobre el eje óptico a 400 mm a la izquierda de la lente. Indique explícitamente si la imagen se forma a la izquierda o a la derecha de la lente. [0,6 puntos]}$

Ahora el objeto está más allá del foco, así que cabe esperar una imagen real. Con $s=-400\ \text{mm}$:

$\dfrac{1}{s'}=\dfrac{1}{f'}+\dfrac{1}{s}=\dfrac{1}{300}+\dfrac{1}{-400}$

$\dfrac{1}{s'}=3{,}333\cdot10^{-3}-2{,}500\cdot10^{-3}=8{,}333\cdot10^{-4}\ \text{mm}^{-1}$

$s'=+1200\ \text{mm}$

La imagen se forma a 1200 mm de la lente. El signo positivo indica que está a la derecha, del lado por donde sale la luz: es una imagen real.

$\textbf{c) Una flecha de 1,2 cm de altura está a 0,42 m de la lente. La imagen de la flecha es real y se forma a 1,05 m de la lente. Calcule la altura de la imagen e indique si la imagen está derecha o invertida. [0,4 puntos]}$

Que la imagen sea real significa que se forma a la derecha de la lente:

$s=-420\ \text{mm},\qquad s'=+1050\ \text{mm}$

El aumento lateral es:

$M_T=\dfrac{s'}{s}=\dfrac{1050}{-420}=-2{,}5$

Y la altura de la imagen:

$y'=M_T\,y=-2{,}5\cdot1{,}2=-3{,}0\ \text{cm}$

La imagen mide $3{,}0\ \text{cm}$ y está invertida, como indica el signo negativo del aumento: es lo propio de una imagen real dada por una lente convergente.

Puede comprobarse que los datos corresponden a la misma lente:

$\dfrac{1}{f'}=\dfrac{1}{1050}-\dfrac{1}{-420}=3{,}333\cdot10^{-3}\ \text{mm}^{-1}\Rightarrow f'=300\ \text{mm}$