Ejercicio resuelto de Campo magnético · Física · 2021

La figura representa hilos conductores rectos, paralelos y de longitud infinita que llevan corrientes hacia arriba. Las intensidades de las corrientes se indican al lado de cada hilo.



a) Calcule la intensidad del campo magnético en el punto M a causa de la corriente de 6 A que conduce el hilo número 2. [0,4 puntos]

b) Indique la dirección y el sentido de los campos magnéticos $\mathbf{B}_1$, $\mathbf{B}_2$, $\mathbf{B}_3$ y $\mathbf{B}_4$ en el punto M a causa de cada una de las corrientes. Escriba el nombre de la regla o de la ley usada para responder. [0,4 puntos]

c) Calcule la fuerza por unidad de longitud sobre el hilo número 3 a causa de las otras tres corrientes. Dibuje el hilo y los vectores que representan cualitativamente las fuerzas individuales y la fuerza total. [1,2 puntos]

Datos: $\mu_0 = 4\pi\cdot10^{-7}\ \text{N A}^{-2}$; campo creado por un hilo infinito, $B_{\parallel} = \dfrac{\mu_0 I}{2\pi r}$; fuerza por unidad de longitud entre dos hilos paralelos, $\dfrac{F}{L} = \mu_0\,\dfrac{I_1 I_2}{2\pi d}$.

$\textbf{a) Calcule la intensidad del campo magnético en el punto M a causa de la corriente de 6 A que conduce el hilo número 2. [0,4 puntos]}$

El punto M está a 3 mm del hilo 2, según las cotas de la figura. Se aplica la expresión del campo de un hilo indefinido:

$B_2=\dfrac{\mu_0 I_2}{2\pi r}=\dfrac{2\cdot10^{-7}\cdot6}{3\cdot10^{-3}}$

$B_2=4{,}0\cdot10^{-4}\ \text{T}=0{,}40\ \text{mT}$

$\textbf{b) Indique la dirección y el sentido de los campos magnéticos }\boldsymbol{\vec B_1}\textbf{, }\boldsymbol{\vec B_2}\textbf{, }\boldsymbol{\vec B_3}\textbf{ y }\boldsymbol{\vec B_4}\textbf{ en el punto M a causa de cada una de las corrientes. Escriba el nombre de la regla o de la ley usada para responder. [0,4 puntos]}$










La regla usada es la de la mano derecha, que da el sentido del campo de la ley de Biot-Savart: con el pulgar en el sentido de la corriente, los dedos rodean el hilo en el sentido del campo.

Todas las corrientes van hacia arriba, así que cada hilo crea un campo entrante en el papel a su derecha y saliente a su izquierda.





Los hilos 1 y 2 quedan a la izquierda de M, de modo que sus campos allí son entrantes; los hilos 3 y 4 quedan a su derecha y sus campos son salientes. Los cuatro son perpendiculares al plano de la figura.

Los módulos, con las distancias 8, 3, 3 y 8 mm, son:

$B_1=\dfrac{2\cdot10^{-7}\cdot9}{8\cdot10^{-3}}=0{,}225\ \text{mT}\ \text{(entrante)}$

$B_2=0{,}400\ \text{mT}\ \text{(entrante)}$

$B_3=\dfrac{2\cdot10^{-7}\cdot11}{3\cdot10^{-3}}=0{,}733\ \text{mT}\ \text{(saliente)}$

$B_4=\dfrac{2\cdot10^{-7}\cdot12}{8\cdot10^{-3}}=0{,}300\ \text{mT}\ \text{(saliente)}$

Sumándolos con su signo, el campo total en M resulta $0{,}408\ \text{mT}$ saliente del papel.

$\textbf{c) Calcule la fuerza por unidad de longitud sobre el hilo número 3 a causa de las otras tres corrientes. Dibuje el hilo y los vectores que representan cualitativamente las fuerzas individuales y la fuerza total. [1,2 puntos]}$










Las cuatro corrientes van en el mismo sentido, y dos corrientes paralelas del mismo sentido se atraen. Las tres fuerzas sobre el hilo 3 son, por tanto, atractivas: las de los hilos 1 y 2 tiran de él hacia la izquierda y la del hilo 4 hacia la derecha.

Las distancias son 11 mm, 6 mm y 5 mm.





Se aplica la expresión del enunciado a cada pareja:

$\dfrac{F_{1\to3}}{L}=2\cdot10^{-7}\cdot\dfrac{9\cdot11}{11\cdot10^{-3}}=1{,}8\cdot10^{-3}\ \text{N/m}\ \text{(hacia la izquierda)}$

$\dfrac{F_{2\to3}}{L}=2\cdot10^{-7}\cdot\dfrac{6\cdot11}{6\cdot10^{-3}}=2{,}2\cdot10^{-3}\ \text{N/m}\ \text{(hacia la izquierda)}$

$\dfrac{F_{4\to3}}{L}=2\cdot10^{-7}\cdot\dfrac{12\cdot11}{5\cdot10^{-3}}=5{,}28\cdot10^{-3}\ \text{N/m}\ \text{(hacia la derecha)}$

Las tres son paralelas y la resultante es su suma algebraica:

$\dfrac{F}{L}=5{,}28\cdot10^{-3}-1{,}8\cdot10^{-3}-2{,}2\cdot10^{-3}=1{,}28\cdot10^{-3}\ \text{N/m}$

La fuerza total sobre el hilo 3 vale $1{,}28\cdot10^{-3}\ \text{N/m}$, está contenida en el plano de la figura, es perpendicular a los hilos y apunta hacia la derecha, es decir, hacia el hilo 4: gana su atracción, que lleva la corriente mayor y está más cerca.