Ejercicio resuelto de Campo eléctrico · Física · 2021

Dos cargas puntuales de 6 nC cada una están en los vértices de la base de un cuadrado como muestra la figura.



a) Determine el sector del círculo en el que se encuentra el vector campo eléctrico en el vértice superior derecho del cuadrado a causa de las dos cargas puntuales. [0,4 puntos]

b) Calcule el módulo de la fuerza total sobre un electrón situado en el punto B. Dibuje un diagrama para mostrar la dirección y el sentido de esta fuerza. [1 punto]

c) Calcule el módulo del trabajo para llevar una carga de 7 nC del punto A al punto B. [0,6 puntos]

Datos: $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N m}^2\text{ C}^{-2}$; $|e| = 1{,}6\cdot10^{-19}\ \text{C}$; $V = K\,\dfrac{q}{r}$.

$\textbf{a) Determine el sector del círculo en el que se encuentra el vector campo eléctrico en el vértice superior derecho del cuadrado a causa de las dos cargas puntuales. [0,4 puntos]}$










El vértice superior derecho es el punto B. Sus distancias a las dos cargas son:

$r_2=3\ \mu\text{m}\ \text{(la que está justo debajo)}$

$r_1=3\sqrt2=4{,}24\ \mu\text{m}\ \text{(la de la diagonal)}$

Las dos cargas son positivas, así que los dos campos se alejan de ellas: el de la carga inferior es vertical y el de la otra lleva la dirección de la diagonal, a $45^\circ$.





Los módulos son:

$E_2=K\dfrac{q}{r_2^2}=9\cdot10^{9}\cdot\dfrac{6\cdot10^{-9}}{(3\cdot10^{-6})^2}=6{,}0\cdot10^{12}\ \text{N/C}$

$E_1=K\dfrac{q}{r_1^2}=9\cdot10^{9}\cdot\dfrac{6\cdot10^{-9}}{1{,}8\cdot10^{-11}}=3{,}0\cdot10^{12}\ \text{N/C}$

En componentes, con el eje $X$ horizontal hacia la derecha:

$\vec E_B=3{,}0\cdot10^{12}(\cos45^\circ\,\vec\imath+\sin45^\circ\,\vec\jmath)+6{,}0\cdot10^{12}\,\vec\jmath$

$\vec E_B=2{,}12\cdot10^{12}\,\vec\imath+8{,}12\cdot10^{12}\,\vec\jmath\ \text{N/C}$

El ángulo que forma con la horizontal es:

$\tan\alpha=\dfrac{8{,}12}{2{,}12}\Rightarrow \alpha=75{,}4^\circ$

Ese ángulo está entre $45^\circ$ y $90^\circ$, de modo que el campo cae en el sector número 2 del círculo.

$\textbf{b) Calcule el módulo de la fuerza total sobre un electrón situado en el punto B. Dibuje un diagrama para mostrar la dirección y el sentido de esta fuerza. [1 punto]}$

El módulo del campo total en B es:

$E_B=\sqrt{(2{,}12\cdot10^{12})^2+(8{,}12\cdot10^{12})^2}=8{,}39\cdot10^{12}\ \text{N/C}$

Y la fuerza sobre el electrón:

$F=|q_e|\,E_B=1{,}6\cdot10^{-19}\cdot8{,}39\cdot10^{12}$

$F=1{,}34\cdot10^{-6}\ \text{N}$

Por ser negativa la carga del electrón, la fuerza tiene la misma dirección que el campo pero sentido contrario: apunta hacia abajo y hacia la izquierda, hacia el interior del cuadrado, formando $75{,}4^\circ$ con la horizontal. Cae, por tanto, en el sector 6 del círculo, el diametralmente opuesto al del campo.

$\textbf{c) Calcule el módulo del trabajo para llevar una carga de 7 nC del punto A al punto B. [0,6 puntos]}$

Se calculan los potenciales en los dos vértices superiores. En A las distancias a las cargas son $3\ \mu\text{m}$ —la que está justo debajo— y $3\sqrt2\ \mu\text{m}$, la de la diagonal:

$V(\text{A})=K\,q\left(\dfrac{1}{3\cdot10^{-6}}+\dfrac{1}{4{,}24\cdot10^{-6}}\right)=3{,}07\cdot10^{7}\ \text{V}$

En B las distancias son exactamente las mismas, solo que intercambiadas, porque la figura es simétrica respecto de la mediatriz del cuadrado:

$V(\text{B})=3{,}07\cdot10^{7}\ \text{V}$

Por tanto:

$W=q\,[V(\text{B})-V(\text{A})]=7\cdot10^{-9}\cdot0$

$|W|=0\ \text{J}$

El trabajo es nulo. Los puntos A y B están al mismo potencial, es decir, sobre la misma superficie equipotencial, y el campo eléctrico es conservativo: mover una carga entre dos puntos del mismo potencial no cuesta trabajo, sea cual sea el camino.