Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2021

Una luna de $2{,}2\cdot10^{21}\ \text{kg}$ orbita un planeta de $8{,}3\cdot10^{24}\ \text{kg}$. Cuando se encuentra más lejos del planeta, está a 200 000 km y se mueve a 1,45 km/s.

a) Calcule la velocidad de la luna cuando pasa por el punto más próximo al planeta. [1,5 puntos]

b) Calcule la energía potencial gravitatoria de la luna cuando pasa por el punto de la órbita más lejano del planeta y cuando pasa por el punto más cercano al planeta. [0,5 puntos]

Datos: $G = 6{,}674\cdot10^{-11}\ \text{N m}^2\text{ kg}^{-2}$; $E_p = -G\,\dfrac{Mm}{r}$.

$\textbf{a) Calcule la velocidad de la luna cuando pasa por el punto más próximo al planeta. [1,5 puntos]}$

El enunciado no da la distancia del punto más próximo, así que hacen falta las dos leyes de conservación que rigen el movimiento orbital.

En el apoastro y en el periastro la velocidad es perpendicular al radio, de modo que el momento angular vale simplemente $L=m\,v\,r$. Como la fuerza gravitatoria es central, se conserva:

$v_a\,r_a=v_p\,r_p$

Y como además es conservativa, se conserva la energía mecánica:

$\dfrac12 v_a^2-\dfrac{G\,M}{r_a}=\dfrac12 v_p^2-\dfrac{G\,M}{r_p}$

Se llama $u=v_p/v_a=r_a/r_p$ y se sustituye en la segunda ecuación:

$\dfrac12 v_a^2\,(u^2-1)=\dfrac{G\,M}{r_a}\,(u-1)$

El factor $u-1$ se simplifica —la solución $u=1$ corresponde a la órbita circular, que no es este caso— y queda:

$u+1=\dfrac{2\,G\,M}{r_a\,v_a^2}\Rightarrow u=\dfrac{2\,G\,M}{r_a\,v_a^2}-1$

Se sustituyen los datos, con $r_a=2\cdot10^{8}\ \text{m}$ y $v_a=1450\ \text{m/s}$:

$u=\dfrac{2\cdot6{,}674\cdot10^{-11}\cdot8{,}3\cdot10^{24}}{2\cdot10^{8}\cdot1450^2}-1=2{,}635-1=1{,}635$

$v_p=u\,v_a=1{,}635\cdot1450=2{,}37\cdot10^{3}\ \text{m/s}$

En el punto más próximo la luna se mueve a $2{,}37\ \text{km/s}$, y de paso queda determinada esa distancia:

$r_p=\dfrac{r_a}{u}=\dfrac{2\cdot10^{8}}{1{,}635}=1{,}22\cdot10^{8}\ \text{m}$

$\textbf{b) Calcule la energía potencial gravitatoria de la luna cuando pasa por el punto de la órbita más lejano del planeta y cuando pasa por el punto más cercano al planeta. [0,5 puntos]}$

Se aplica la expresión del enunciado en cada posición.

En el apoastro:

$E_p(r_a)=-\dfrac{6{,}674\cdot10^{-11}\cdot8{,}3\cdot10^{24}\cdot2{,}2\cdot10^{21}}{2\cdot10^{8}}$

$E_p(r_a)=-6{,}09\cdot10^{27}\ \text{J}$

Y en el periastro, con la distancia obtenida en el apartado anterior:

$E_p(r_p)=-\dfrac{1{,}219\cdot10^{36}}{1{,}22\cdot10^{8}}=-9{,}96\cdot10^{27}\ \text{J}$

La energía potencial es más negativa cerca del planeta, como debe ser. Puede comprobarse que la energía mecánica es la misma en los dos puntos:

$E=\dfrac12 m v_a^2+E_p(r_a)=2{,}31\cdot10^{27}-6{,}09\cdot10^{27}=-3{,}78\cdot10^{27}\ \text{J}$

$E=\dfrac12 m v_p^2+E_p(r_p)=6{,}18\cdot10^{27}-9{,}96\cdot10^{27}=-3{,}78\cdot10^{27}\ \text{J}$