Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2021

La figura representa las posiciones en un momento dado de tres asteroides de masas $m_1$, $m_2$ y $m_3$. Calcule el módulo de la fuerza sobre el primer asteroide a causa de:



a) El segundo asteroide. [0,3 puntos]

b) El tercer asteroide. [0,4 puntos]

c) El segundo y el tercer asteroides en conjunto. [0,8 puntos]

d) Dibuje los vectores que representan las tres fuerzas anteriores sobre una copia del triángulo de la figura adjunta. [0,5 puntos]

Dato: $G = 6{,}674\cdot10^{-11}\ \text{N m}^2\text{ kg}^{-2}$.

$\textbf{a) El segundo asteroide. [0,3 puntos]}$

La ley de gravitación universal da el módulo de la fuerza entre dos masas puntuales:

$F=G\dfrac{m\,m'}{d^2}$

El segundo asteroide está a $4\times10^{5}\ \text{km}=4\cdot10^{8}\ \text{m}$ del primero:

$F_{12}=\dfrac{6{,}674\cdot10^{-11}\cdot3\cdot10^{21}\cdot8\cdot10^{21}}{(4\cdot10^{8})^2}$

$F_{12}=\dfrac{1{,}602\cdot10^{33}}{1{,}6\cdot10^{17}}=1{,}00\cdot10^{16}\ \text{N}$

$\textbf{b) El tercer asteroide. [0,4 puntos]}$

El triángulo es rectángulo en el segundo asteroide, así que la distancia entre el primero y el tercero es la hipotenusa:

$d_{13}=\sqrt{(4\cdot10^{8})^2+(3\cdot10^{8})^2}=5\cdot10^{8}\ \text{m}$

$F_{13}=\dfrac{6{,}674\cdot10^{-11}\cdot3\cdot10^{21}\cdot5\cdot10^{21}}{(5\cdot10^{8})^2}$

$F_{13}=\dfrac{1{,}001\cdot10^{33}}{2{,}5\cdot10^{17}}=4{,}00\cdot10^{15}\ \text{N}$

$\textbf{c) El segundo y el tercer asteroides en conjunto. [0,8 puntos]}$

Las dos fuerzas son atractivas y llevan direcciones distintas, así que hay que sumarlas vectorialmente. Se toma el eje $X$ en la dirección del primer asteroide al segundo y el eje $Y$ hacia arriba.

La primera fuerza es horizontal:

$\vec F_{12}=1{,}00\cdot10^{16}\,\vec\imath\ \text{N}$

La segunda lleva la dirección de la hipotenusa, cuyo vector unitario del primer asteroide al tercero es:

$\vec u_{13}=\dfrac{(4\ ;\ -3)}{5}=(0{,}8\ ;\ -0{,}6)$

$\vec F_{13}=4{,}00\cdot10^{15}(0{,}8\,\vec\imath-0{,}6\,\vec\jmath)=3{,}20\cdot10^{15}\,\vec\imath-2{,}40\cdot10^{15}\,\vec\jmath\ \text{N}$

Por el principio de superposición:

$\vec F=1{,}32\cdot10^{16}\,\vec\imath-2{,}40\cdot10^{15}\,\vec\jmath\ \text{N}$

$F=\sqrt{(1{,}32\cdot10^{16})^2+(2{,}40\cdot10^{15})^2}=1{,}34\cdot10^{16}\ \text{N}$

La fuerza total sobre el primer asteroide vale $1{,}34\cdot10^{16}\ \text{N}$ y forma $10{,}3^\circ$ por debajo de la dirección que une el primer asteroide con el segundo.

$\textbf{d) Dibuje los vectores que representan las tres fuerzas anteriores sobre una copia del triángulo de la figura adjunta. [0,5 puntos]}$

Las dos fuerzas parciales salen del primer asteroide y apuntan hacia cada una de las otras masas, porque la gravedad siempre es atractiva. La resultante se construye con la regla del paralelogramo y queda entre las dos, más cerca de $\vec F_{12}$, que es dos veces y media mayor.