Ejercicio resuelto de Óptica · Física · Islas Baleares · 2021

a) La imagen de un objeto de 3 mm de altura creada por una lente delgada es virtual, tiene 10 mm de altura y se forma a 14 cm de la lente. Calcule la distancia focal de la lente. Escriba explícitamente si la lente es convergente o divergente. [1,2 puntos]

b) Trace los tres rayos principales que determinan la imagen de un objeto de 4 cm de altura situado con el pie sobre el eje óptico a 7 cm de una lente delgada de $+30\ \text{mm}$ de distancia focal. [0,8 puntos]

Datos (criterio DIN para lentes delgadas): $\dfrac{1}{s'} - \dfrac{1}{s} = \dfrac{1}{f'}$; $M_T = \dfrac{y'}{y} = \dfrac{s'}{s}$.

$\textbf{a) La imagen de un objeto de 3 mm de altura creada por una lente delgada es virtual, tiene 10 mm de altura y se forma a 14 cm de la lente. Calcule la distancia focal de la lente. Escriba explícitamente si la lente es convergente o divergente. [1,2 puntos]}$

Se emplea el criterio DIN: la luz viaja de izquierda a derecha y las distancias medidas en ese sentido son positivas. Que la imagen sea virtual significa que se forma del mismo lado que el objeto:

$s'=-14\ \text{cm}=-140\ \text{mm}$

La imagen es más grande que el objeto. Con un objeto real, una lente divergente da siempre una imagen virtual y más pequeña, así que la lente ha de ser convergente y la imagen, derecha:

$M_T=\dfrac{y'}{y}=\dfrac{10}{3}=3{,}33$

De la expresión del aumento se obtiene la distancia del objeto:

$s=\dfrac{s'}{M_T}=\dfrac{-140}{3{,}33}=-42\ \text{mm}$

Y de la ecuación de Descartes, la distancia focal:

$\dfrac{1}{f'}=\dfrac{1}{s'}-\dfrac{1}{s}=\dfrac{1}{-140}-\dfrac{1}{-42}$

$\dfrac{1}{f'}=-7{,}143\cdot10^{-3}+2{,}381\cdot10^{-2}=1{,}667\cdot10^{-2}\ \text{mm}^{-1}$

$f'=+60\ \text{mm}$

La distancia focal es de $+60\ \text{mm}$ y la lente es convergente. El objeto está a 42 mm, dentro de la distancia focal, que es la condición para que la lente actúe como lupa.

$\textbf{b) Trace los tres rayos principales que determinan la imagen de un objeto de 4 cm de altura situado con el pie sobre el eje óptico a 7 cm de una lente delgada de }\boldsymbol{+30\ \text{mm}}\textbf{ de distancia focal. [0,8 puntos]}$










Ahora el objeto está más allá del doble de la distancia focal, porque $70\ \text{mm}>2\cdot30\ \text{mm}$. Los tres rayos principales son:

i) El rayo paralelo al eje, que tras la lente pasa por el foco imagen $F'$.

ii) El rayo que pasa por el foco objeto $F$, que tras la lente sale paralelo al eje.

iii) El rayo que pasa por el centro óptico, que no se desvía.





Los tres rayos emergentes convergen realmente, así que la imagen es real y podría recogerse en una pantalla. Se comprueba con la ecuación de Descartes, con $s=-70\ \text{mm}$:

$\dfrac{1}{s'}=\dfrac{1}{30}-\dfrac{1}{70}=1{,}905\cdot10^{-2}\ \text{mm}^{-1}\Rightarrow s'=+52{,}5\ \text{mm}$

$M_T=\dfrac{s'}{s}=\dfrac{52{,}5}{-70}=-0{,}75$

$y'=-0{,}75\cdot4=-3\ \text{cm}$

La imagen es real, invertida y menor que el objeto: mide 3 cm y se forma a 52,5 mm al otro lado de la lente.